Сложение скоростей и ускорений при сложном движении точки

Не останавливаясь на доказательстве, сформулируем и обсудим содержание двух основных теорем теории сложного движения точки. (Доказательства этих теорем приведены в учебнике.....)

Для вычисления абсолютной скорости точки получается вполне ожидаемый результат:

абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей: 

                                                                                                                     (3.1)

Абсолютное ускорение точки вычисляется при помощи теоремы Кориолиса:

                                                                                                          (3.2)

где вектор

                                                                                                                      (3.3)

называется ускорением Кориолиса.

Таким образом,

абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений.

Как видно, абсолютное ускорение содержит несколько неожиданное слагаемое – ускорение Кориолиса. Поясним причину возникновения ускорения Кориолиса на простейшем примере. Пусть стержень  вращается вокруг оси . Вдоль стержня движется точка .

Рис.3.2		Рис.3.3

Абсолютная производная от вектора относительной скорости характеризует изменение с течением времени вектора  по отношению к неподвижной системе координат. Вектор относительной скорости может изменяться в ходе относительного движения в силу кривизны относительной траектории или неравномерности относительного движения. Эти изменения учитывает вектор относительного ускорения. Но вектор относительного ускорения не может учесть поворот вектора , происходящий вместе с поворотом подвижного пространства (Рис. 3.2). Это изменение, наблюдаемое только из неподвижной системы отсчета, учитывает половина ускорение Кориолиса.

С другой стороны, абсолютная производная от вектора переносной скорости характеризует изменение с течением времени вектора  по отношению к неподвижной системе координат. Вектор переносной скорости может изменяться в ходе переносного движения. Эти изменения учитываются ускорением точки , т.е. переносным ускорением. Но переносное ускорение не может учесть изменение переносной скорости, происходящее за счет относительного движения. Дело в том, что, совершая относительное движение, точка  переходит из точки  стержня в другую точку , где переносная скорость уже другая (Рис. 3.3). Это изменение учитывает вторая половина ускорение Кориолиса.

Один из сомножителей ускорения Кориолиса   – вектор угловой скорости подвижной системы отсчёта. Введение в рассмотрение вектора угловой скорости связано со многими обстоятельствами, важнейшее из которых – стремление использовать аппарат векторной алгебры для описания движения.

Вектор угловой скорости должен задавать положение оси вращения в пространстве. Для этого договоримся располагать этот вектор вдоль оси вращения. Чтобы по направлению вектора угловой скорости можно было судить о направлении вращения тела, будем направлять вектор угловой скорости так, чтобы с его конца вращение тела было бы видно происходящим против хода часовой стрелки. Итак,

вектор угловой скорости тела  расположен вдоль оси вращения и направлен в ту сторону, откуда вращение тела видно происходящим против хода часовой стрелки.

Как следует из определения (3.3), вектор ускорения Кориолиса перпендикулярен плоскости, содержащей вектор угловой скорости подвижной системы отсчета и вектор относительной скорости точки, причем направлен в ту сторону, откуда кратчайший поворот от вектора  к вектору  виден против хода часовой стрелки (Рис. 3.4). Модуль ускорения Кориолиса определяется по формуле:

                                    где                             (4.4)

Рис. 3.4		Рис. 3.5

Правило Жуковского (Рис. 3.4):

для определения направления ускорения Кориолиса необходимо проекцию вектора относительной скорости на плоскость, перпендикулярную вектору угловой скорости подвижной системы отсчета, повернуть в сторону вращения на угол .

Особенно удобно применять правило Жуковского в тех часто встречающихся случаях, когда вектор относительной скорости перпендикулярен вектору угловой скорости подвижной системы отсчета (Рис. 3.5).

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Что называется сложным движением точки?
2. Что называется относительной скоростью и относительным ускорением точки?
3. Что называется переносной скоростью и переносным ускорением точки?
4. В чём состоит теорема сложения скоростей?
5. В чём состоит теорема сложения ускорений?
6. Как вычисляется ускорение Кориолиса?
7. В чём состоит правило Жуковского?