Вынужденные колебания при отсутствии сопротивления

Пусть на точку с массой  кроме восстанавливающей силы действует возмущающая сила вида (2.4). Влияние силы сопротивления мы рассмотрим в следующем параграфе. Дифференциальное уравнение движения имеет вид:

                 или                        (2.24)

где

Общее решение неоднородного уравнения (2.24), как известно, складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения (2.8) и любого частного решения  уравнения (2.24). Частное решение  будем искать в виде:

                                                                                                         (2.25)

где  – любое число.

Подставляя предполагаемый вид решения (2.25) в уравнение (2.24), получаем:

Как видно, функция (2.25) действительно будет решением уравнения (2.24), если

что возможно только при .

Таким образом, если , общее решение уравнения (2.24) имеет вид: 

Рис. 2.6

(2.26)

Как следует из полученного решения, движение точки в рассматриваемом случае представляет собой результат наложения двух колебаний: собственных с частотой , амплитуда  и начальная фаза  которых определяются начальными условиями, и вынужденных с частотой , равной частоте возмущающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний от начальных условий не зависит.

Если частота возмущающей силы равна частоте собственных колебаний, т.е., если , то рассмотренное частное решение не имеет смысла. Рассмотрим другое частное решение, которое получается из общего решения (2.26) при конкретных значениях произвольных постоянных.

                                                                      (2.27)

При  это частное решение имеет неопределенность вида , раскрывая которую (по правилу Лопиталя), находим:

 результате получаем:

                                                                                            (2.28)

Как видно, в том случае, когда частота возмущающей силы совпадает с собственной частотой, амплитуда вынужденных колебаний с течением времени неограниченно возрастает (Рис.10.6). Такое явление называется резонансом. Резонанс играет важнейшую роль в акустике, радиотехнике, динамическом расчете сооружений и т.д.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Что называется восстанавливающей силой?
2. Что называется амплитудой, частотой и периодом свободных незатухающих колебаний?
3. При каких условиях возникают свободные затухающие колебания?
4. При каких условиях возникает апериодическое движение?
5. Что называется резонансом и когда он возникает?

ЛЕКЦИЯ 3 (11)

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ

Возможные подходы к решению задачи об определении

     движения точек механической системы

Основная задача динамики механической системы состоит в том, чтобы, зная приложенные к системе силы (полностью или частично), определить движение каждой точки системы. Силы, действующие на механическую систему, можно разделить на внешние и внутренние.