Движение точки при наличии сопротивления

Пусть кроме восстанавливающей силы на точку действует сила сопротивления, пропорциональная первой степени скорости.  Дифференциальное уравнение движения

Рис. 2.4

 принимает вид:                                                         

                                                                                 (2.19)

Рассмотрим возможные случаи.

Случай малого сопротивления .  Решение уравнения (2.19)представляется в виде:

                                             (2.20)

где

или в виде:

                                                      (2.21)

где  и  или  и  — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Как видно из решения (2.21), рассматриваемое движение будет затухающим колебанием, поскольку благодаря наличию множителя  размахи колебаний будут со временем убывать, стремясь к нулю (Рис.2.4).

Случай большого сопротивления . Обозначая , получаем общее

Рис. 2.5

решение уравнения (2.19) в виде:

Как видно, колебаний в рассматриваемом случае не будет. Поскольку , с течением времени  убывает, стремясь к нулю, т.е. точка со временем асимптотически приближается к положению равновесия. Примерный характер движения показан на Рис.2.5.

Граничный случай .   Общее решение уравнения (2.19) имеет вид:

                                                                                                       (2.23)

Картина движения в этом случае будет качественно такой же, как в случае большого сопротивления (Рис.2.5).