ЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Постановка задачи

Пусть материальная точка  с массой , в силу наложенных на нее связей, движется по известной траектории, на которой установлена криволинейная система отсчета (Рис.2.1). Начало отсчета дуговой координаты  совместим с положением равновесия точки . Пусть среди сил, действующих на точку, есть восстанавливающая сила. Восстанавливающей называется сила, возникающая при смещении точки из положения равновесия и стремящаяся вернуть точку в равновесное положение. Такая сила всегда направлена в сторону положения равновесия, а её модуль пропорционален величине смещения точки из положения равновесия. Проекцию восстанавливающей силы на направление касательной к траектории можно записать в виде   где  – коэффициент пропорциональности, который называется коэффициентом жесткости.

Рис. 2.1

Природа таких сил весьма разнообразна (упругие, архимедовы, гравитационные силы и т.п.). В практическом отношении интересны задачи, в которых кроме восстанавливающей силы на точку действует сила сопротивления  и некоторая сила , которую называют возмущающей силой.

Поскольку траектория точки считается известной, для определения закона движения используем уравнение:

                                                                                                         (2.2)

Ограничиваясь случаем пропорциональности силы сопротивления первой степени скорости (вязкое трение при малых скоростях), получаем:     где  – коэффициент пропорциональности.

Рассмотрим случай периодической возмущающей силы:

                                                         (2.4)

Таким образом, дифференциальное уравнение движения (2.2) принимает вид:

       или             (2.5)

где обозначено:

                                                                             (2.6)

Задача состоит в определении решения уравнения (2.5) при заданных начальных условиях:

                                           при                                     (2.7)

Следует отметить, что многие функции  при определенных условиях могут быть представлены на интервале движения разложением в ряд Фурье, т.е. в виде суммы (вообще говоря, бесконечной), каждый член которой имеет вид (2.4). Тогда решение уравнения движения, в силу его линейности, может быть представлено соответствующей суммой решений уравнений вида (2.5). Таким образом, рассматриваемый случай возмущающей силы является довольно общим.