Движение точки под действием восстанавливающей силы

Пусть на точку действует только восстанавливающая сила. Полагая в уравнении (2.5)  и , получаем:

                                                                                                                     (2.8)

Здесь и в дальнейшем полагаем , имея ввиду, что в учебной литературе обычно рассматривается случай прямолинейного движения, хотя все полученные результаты справедливы для движения точки по любой криволинейной траектории.

Уравнение (2.8) представляет собой обыкновенное линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение уравнения (2.8) имеет вид:

                                                                                                   (2.9)

где  и  — постоянные интегрирования.

Дифференцируя решение (2.9) по времени, получаем закон изменения скорости точки:

                                                                                 (2.10)

Для определения постоянных интегрирования  и  подставляем начальные условия, которые в принятых нами обозначениях имеют вид

                                             при                                       (2.11)

в уравнения (10.9) и (10.10). Получаем:  так что общее решение уравнения (10.8) принимает вид:

                                                                                             (2.12)

или

                                                                                                        (2.13)

Рис. 2.2

Скорость точки при этом вычисляется по формуле: 

                                                              (2.14)

  Движение, совершаемое точкой под действием восстанавливающей силы, называется простым гармоническим или свободным незатухающим колебанием (Рис.2.2).

Постоянная  определяет наибольшее отклонение точки от положения равновесия; ее называют амплитудой колебаний. Величина , определяющая положение и скорость точки в данный момент времени, называется фазой колебаний;  – начальная фаза.

Как видно, движение будет периодическим. Периодом колебаний называется промежуток времени , в течение которого точка совершает одно полное колебание

                                                     (2.15)

Величина , пропорциональная , называется круговой или циклической частотой колебаний.

Влияние постоянной силы на свободные незатухающие колебания

Пусть кроме восстанавливающей силы (2.1) на точку действует постоянная по модулю и направлению сила, например, сила тяжести. Для наглядности рассмотрим колебания груза, прикрепленного к концу пружины (Рис.2.3). На груз действуют две силы: сила тяжести и реакция пружины, величина которой пропорциональна удлинению пружины: .

Рис. 2.3

Выберем начало отсчета в положении статического равновесия ; ось  направим вертикально вниз. Тогда . Дифференциальное уравнение движения точки принимает вид:  

                               (2.16)

Учитывая условие статического равновесия:  приводим уравнение (2.16) к виду:

                                               (2.18)

Таким образом, наличие постоянной силы не изменяет характера движения – оно остается простым гармоническим колебанием. Действие постоянной силы приводит только к тому, что центр колебаний смещается в сторону действия постоянной силы.