ДВИЖЕНИЕ В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Используется обычная прямоугольная декартова система координат (как рис. 16). Рассматривать для простоты будем плоское движение.

Рис. 16

Определим характеристики движения.

Закон движения. Одной из основных задач механики является прогнозирование последующего поведения тела при заданных начальных условиях, а это предполагает способность точно указать положение каждой точки тела в любой последующий момент времени.

Рассмотрим движущуюся материальную точку М (рис. 16).

Положение точки в любой момент времени удобно характеризовать вектором, проведенным из начала координат в ту точку пространства, в которой находится в настоящий момент времени рассматриваемая материальная точка (  на рис.16). Такой вектор называется РАДИУС-ВЕКТОР. Радиус-вектор полностью определяется своими координатами . Положению точки в любой момент движения однозначно соответствует определенный радиус-вектор.

Векторный ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ материальной точки – это зависимость радиус-вектора положения точки от времени  (первая и основная характеристика движения).

Траектория. В процессе движения материальная точка последовательно переходит из одной точки пространства в другую. Если соединить эти точки, то получится плавная пространственная кривая (пунктирная линия на рис. 16).

ТРАЕКТОРИЯ – это пространственная кривая, на которой находится материальная точка в любой момент движения при сохранении закона движения.

ЧТОБЫ ПОЛУЧИТЬ УРАВНЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ НЕОБХОДИМО ИЗ ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ИСКЛЮЧИТЬ ВРЕМЯ.

Скорость. Допустим, что в некоторый момент времени t₀ положение точки характеризует радиус-вектор , а через некоторое время в момент t₁=t₀+  (рис. 17). Если через концы векторов  и  провести новый вектор , то получим равенство

Рис. 17

СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ движения - это изменение положения материальной точки за промежуток времени, в течение которого это изменение происходило, т. е.

МГНОВЕННАЯ СКОРОСТЬ (в дальнейшем просто СКОРОСТЬ) - это предел средней скорости при бесконечном уменьшении промежутка времени наблюдения, т. е.

Таким образом, СКОРОСТЬ - ЭТО ПЕРВАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ПО ВРЕМЕНИ (третья характеристика движения). Здесь и в дальнейшем точка над символом обозначает производную по времени.

Скорость является векторной величиной, и ее направление совпадает с направлением вектора  в его предельном положении, т. е. ВЕКТОР СКОРОСТИ ВСЕГДА РАСПОЛОГАЕТСЯ НА КАСАТЕЛЬНОЙ К ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ И НАПРАВЛЕН В ТУ СТОРОНУ, КУДА ПРОИСХОДИТ ДВИЖЕНИЕ.

Чтобы определить, величину скорости, т. е. ее модуль, необходимо разложить вектора  и  на составляющие в выбранной системе координат, т.е. представить  и .Тогда между компонентами скорости и радиус-вектора положение точки должно выполняться соотношение

В этом случае модуль скорости можно определить как

Ускорение. Допустим, что в некоторый момент времени t₀ материальная точка находится в положении А и имеет скорость , а через некоторое время  в момент  в положении В и имеет скорость  (рис. 18). Если вектор  перенести в точку А (обозначено пунктиром на рис. 18), а через концы векторов  и  провести новый вектор , то получим векторное равенство

                   .

Рис. 18

СРЕДНЕЕ УСКОРЕНИЕ движения- это изменение скорости материальной точки за промежуток времени, в течение которого это изменение происходило, т. е.

МГНОВЕННОЕ УСКОРЕНИЕ ( в дальнейшем просто УСКОРЕНИЕ) – это предел среднего ускорения при бесконечном уменьшении промежутка времени наблюдения, т. е.

.                                                   (4)

Таким образом, УСКОРЕНИЕ – ЭТО ПЕРВАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ОТ СКОРОСТИ ИЛИ ВТОРАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ПО ВРЕМЕНИ (четвертая характеристика движения).

Ускорение является векторной величиной и ее направление совпадает с направлением вектора  в его предельном положении, т. е. ВЕКТОР УСКОРЕНИЯ ВСЕГДА РАСПОЛАГАЕТСЯ С ТОЙ СТОРОНЫ ОТ КАСАТЕЛЬНОЙ К ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ, ЧТО И САМА ТРАЕКТОРИЯ.

Аналогично скорости компоненты вектора ускорения можно представить через компоненты вектора скорости и компоненты радиус – вектора положения точки

В этом случае модуль ускорения можно определить как

ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ЧЕТЫРЬМЯ ОСНОВНЫМИ ХАРАКТЕТИСТИКАМИ: ЗАКОНОМ ДВИЖЕНИЯ, ТРАЕКТОРИЕЙ, СКОРОСТЬЮ И УСКОРЕНИЕМ.