МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ

М П С Р О С С И И

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

─────────────────────────────────────────

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Конспект лекций

для студентов II курса специальностей

Д, ЭНС, АТС

РГОТУПС

Москва 2004

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемый конспект лекций содержит только выборочные сведения из теоретической механики. Многие понятия и теоремы не рассматриваются, а те, которые рассматриваются, приводятся без строгого доказательства или даже вообще без доказательства. Желающим познакомиться более детально с положениями теоретической механики необходимо обратиться к академическим учебникам.

В настоящем конспекте материал изложен в том порядке и в том объёме, как он читается на лекциях в Воронежском филиале. Некоторые темы, знание которых требуется от студентов согласно программе курса (например «Ударное взаимодействие тел»), предлагаются для самостоятельного изучения по академическим изданиям.

В конспекте принято обозначать определение терминов и основных понятий теоретической механики курсивом, причём сам термин пишется ЗАГЛАВНЫМИ буквами. В конце конспекта приводится отдельно список терминов с указанием страницы, на которой приводится определение этого термина.

Когда формулируется какое-либо правило или рекомендация, которая имеет важное значение, они могут быть выделены ЗАГЛАВНЫМИ буквами.

Заголовки основных разделов выделены ЖИРНЫМИ ЗАГЛАВНЫМИ буквами, а заголовки подразделов обычным шрифтом с подчёркиванием. Также с подчёркиванием приведены слова «аксиома» и «теорема», когда они предшествуют формулировке. Сама формулировка приводитсяжирными строчнымибуквами.

ПРЕДМЕТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА – это наука, изучающая взаимодействие материальных тел и их поведение в результате этого взаимодействия.

ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ законов теоретической механики, хотя и не имеет чётко определённых границ, тем не менее, легко уяснима. Объектом рассмотрения теоретической механики может быть любое материальное тело «средних» размеров, т.е. не микрочастицы (молекулы, атомы и т.д.)и не макротела (галактики, ядра галактик и т.д.). Кроме того, рассматриваемые тела не должны двигаться со скоростями близкими скорости света. Таким образом, можно сделать вывод, что объектом рассмотрения механики являются тела, которые окружают нас в обычной жизни (наши дома, наша техника и окружающая нас природа).

Принято различать два основных состояния материальных тел: покой и движение.

СОСТОЯНИЕ ПОКОЯ – сохранение каждой точкой тела своего положения в выбранной системе координат при изменении времени.

СОСТОЯНИЕ ДВИЖЕНИЯ – изменение каждой точкой тела своего положения в выбранной системе координат при изменении времени.

Состояния покоя и движения относительны, поскольку тело может покоиться в выбранной системе координат, но двигаться вместе с системой.

Теоретическую механику принято делить на три основных раздела: статику, кинематику и динамику.

СТАТИКА

СТАТИКА – это раздел теоретической механики, изучающий условия сохранения материальными телами состояния покоя.

АКСИОМЫ СТАТИКИ

СИЛА – мера воздействия одного тела на другое.

Аксиома С1. Все тела в природе взаимодействуют друг с другом.Следовательно, на каждое тело действует бесконечное множество сил. Но в реальных задачах действием абсолютного большинства сил следует пренебрегать и оставлять к рассмотрению только те, относительное влияние которых велико.

СИСТЕМА СИЛ – вся совокупность сил, принятых к рассмотрению и действующих на рассматриваемую систему тел.

Аксиома С2.Сила является вектором.

ЛИНИЯ ДЕСТВИЯ вектора – бесконечная в обе стороны прямая, проходящая через данный вектор.

Аксиома 3.Если тело находится в состоянии покоя под действием только двух сил, то эти силы равны по величине, противоположны по направлению и их линии действия совпадают.

Следствие. Под действием одной силы состояние покоя невозможно.

АБСОЛЮТНО ТВЕРДОЕ (ЖЕСТКОЕ) ТЕЛО - материальное тело, деформациями которого в процессе его нагружения или взаимодействия с другими телами мы пренебрегаем (тело сохраняет свою форму).

Аксиома С4.Если тело находится в состоянии равновесия, то его можно считать абсолютно твердым. Состояние покоя воздушного шарика ничем не отличается от состояния покоя чугунного шара, имеющего ту же форму.ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СИСТЕМЫ СИЛ – это такие системы сил, воздействие которых на данную систему тел приводит к одному и тому же поведению этих тел.

УРАВНОВЕШЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ - это такая система сил, действие которой на данную систему тел эквивалентно отсутствию всякого действия (т.е. действие равно нулю).

Аксиома С5. Состояние тела не нарушится, если к заданной системе сил добавить или убрать уравновешенную систему сил.

СВЯЗАННЫЙ ВЕКТОР - вектор, приложенный к определенной точке пространства и не допускающий переноса в другие точки.

СКОЛЬЗЯЩИЙ ВЕКТОР - вектор, который можно располагать в любой точке на линии его действия.

СВОБОДНЫЙ ВЕКТОР – вектор, который можно располагать в любой точке пространства.

Теорема С1. Сила – скользящий вектор.

Доказательство. Рассмотрим тело, находящееся в равновесии под действием некоторой системы сил (рис. 1а), одна из которых  (на рис.1 остальные силы не показаны). Сила  имеет линию действия а-а и действует на рассматриваемое тело в некоторой точке А. Добавим к системе две уравновешенные силы  и , равные по величине  и приложенные к произвольной точке В, лежащей на линии действия а-а (рис. 1б). Согласно аксиоме С4 равновесие тела не нарушится. Но  и  образуют также уравновешенную систему сил и, следовательно, согласно той же аксиоме, могут быть отброшены.

В результате остается только сила  (рис.1в), a состояние тела не изменилось, следовательно, действие  эквивалентно действию .

Аксиома С6.Два тела действуют друг на друга с силами равными по величине, противоположными по направлению и имеющими одну общую линию действия.

СВЯЗЬ - тело, не включенное в рассматриваемую систему тел и ограничивающее в перемещениях какое-либо из рассматриваемых тел.

РЕАКЦИЯ - это сила воздействия связи на рассматриваемое тело.

Аксиома С7. Наличие связи всегда можно заменить ее реакцией.

Рис. 1.

ВИДЫ СВЯЗЕЙ

Ниже приведено краткое описание некоторых видов связей с указанием, куда следует направлять реакции связей. В тех случаях, когда известна только линия действия реакции, следует направление брать любое из двух возможных и доводить решение задачи до численных значений реакций. Если получится положительное значение, то выбранное направление реакции на расчетной схеме соответствует действительности, если отрицательное, то оно прямо противоположно.

АБСОЛЮТНО ГЛАДКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ

Изображение : линия с короткой штриховкой (рис.2).

Действие: реакция всегда направлена перпендикулярно поверхности контакта (рис. 2).

Примечание. Если поверхность криволинейна, то реакция всегда направлена перпендикулярно касательной к поверхности (рис. 2в).

Рис. 2

СТЕРЖЕНЬ - тело, способное выдерживать как сжимающую, так и растягивающую нагрузку.

НИТЬ - тело, способное выдерживать только растягивающую нагрузку.

БАЛКА - тело, способное выдерживать растягивающую, сжимающую и изгибающую нагрузки.

СТЕРЖЕНЬ или НИТЬ.

Изображение: простая линия (рис.3).

Действие: реакция всегда направлена вдоль стержня или нити.

Рис. 3

ШАРНИР

ШАРНИР - это такое соединение двух жестких тел, при котором тела не могут разъединиться, но могут перемещаться друг относительно друга.

Изображение: маленький кружок (поз. 1 на рис. 4).

ПОДВИЖНЫЙ ШАРНИР

Примечание. Используется только в плоских задачах.

Изображение: шарнир на колесиках (поз. 1 на рис. 4а) или шарнир на вращающемся стержне (поз. 1 на рис. 4б).

Действие: реакция направлена перпендикулярно опорной поверхности (рис. 4а) или вдоль опорного стержня (рис. 4б).

Рис. 4

НЕПОДВИЖНЫЙ ШАРНИР

Примечание. Используется только в плоских задачах.

Изображение :шарнир на поверхности (поз. 2 на рис. 4б) или на двух стержнях (рис. 5).

Действие : реакции две и направлены они так, чтобы не лежать на одной прямой (рис. 5а).

Примечание. Можно считать, что реакция одна, но направление ее (угол b на рис. 5б) неизвестно.

Рис. 5

ЗАДЕЛКА

ЗАДЕЛКА - жесткое закрепление тела.

Изображение : контакт тела и плоскости по некоторой поверхности или расположение одного тела внутри другого (как на рис.6).

Действие : для плоских задач - две реакции и один реактивный момент (рис. 6).

Рис. 6.

МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ

МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ - это вектор, равный векторному произведению вектора (  на рис. 7), проведенного из некоторой заранее выбранной точки пространства (точка А) в точку приложения силы (точка 0) и вектора самой силы (  на рис. 7)

.

Рис. 7

Заранее выбранная точка, относительно которой определяется момент силы, называется ЦЕНТР МОМЕНТА (точка А на рис. 7).

Проведем плоскость (U на рис. 7), проходящую через вектора  и . По свойствам векторного произведения вектор момента будет перпендикулярен этой плоскости и его модуль равен

где   - угол между векторами (угол b на рис. 7).

Проведем перпендикуляр из выбранной точки (в данном случае это А) к линии действия силы (на рис. 7 это линия АС). Рассмотрим  АОС. Он прямоугольный и, следовательно,

, т.е.

.

ПЛЕЧО - кратчайшее расстояние (перпендикуляр) от выбранной точки до линии действия силы.

ВЕЛИЧИНА МОМЕНТА СИЛЫ (МОДУЛЬ МОМЕНТА СИЛЫ) РАВНА ПРОИЗВЕДЕНИЮ МОДУЛЯ СИЛЫ НА ПЛЕЧО.

Знак момента определяется согласно правил векторного произведения. В дальнейшем будем руководствоваться следующим правилом: МОМЕНТ СЧИТАЕТСЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ, ЕСЛИ СИЛА ПЫТАЕТСЯ ПОВЕРНУТЬ КОНСТРУКЦИЮ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МОМЕНТА ПРОТИВ ЧАСОВОЙ СТРЕЛКИ.

При рассмотрении плоских задач вектор момента по свойствам векторного произведения всегда перпендикулярен плоскости действия сил и, следовательно, все вектора моментов параллельны. Поэтому в плоских задачах можно считать момент скалярной величиной и складывать моменты чисто алгебраически.

Теорема С5 (теорема Вариньона). Сумма моментов сил относительно выбранной точки равна моменту равнодействующей этих сил относительно той же точки.

Доказательство. Если к заданной системе сил , ,…, , имеющих равнодействующую + +…+ добавить силу , равную по величине, противоположно направленную и лежащую на одной прямой с их равнодействующей = , то получим уравновешенную систему сил (аксиома СЗ). Следовательно, по условию равновесия сумма моментов всех этих сил будет равна нулю, т.е.

,

но поскольку , в силу определения силы , то

.

ПАРА СИЛ

ПАРА СИЛ - это две силы, равные по величине, противоположные по направлению и лежащие на параллельных прямых (рис. 8).

Рис. 8

МОМЕНТ ПАРЫ СИЛ - это сумма моментов каждой из сил, составляющих пару.

Две ПАРЫ СИЛ будут ЭКВИВАЛЕНТНЫ, если равны их моменты.

Теорема С6. Момент пары сил есть величина постоянная и равная моменту одной из сил, составляющих пару, относительно любой точки, лежащей на линии действия другой силы.

Доказательство. Рассмотрим пару сил  и  (рис. 8). Выбираем произвольную точку А.