Построение перспективы окружности, заданной в совмещенной предметной плоскости.

Перспектива окружности строится по 8 точкам – вершинам вписанного квадрата и серединам сторон описанного. При этом можно воспользоваться или традиционным способом, или упрощенным.

1. традиционный способ: при его использовании в совмещенной предметной плоскости строится окружность, которая вписана в квадрат ABCE, стороны которого параллельны и перпендикулярны картине. Так как стороны AB и CE перпендикулярны картине их перспективы строятся по характерным точкам – картинным следам и бесконечно удаленной точке (главная точка картины P). Для определения положения перспективы точки A_K проведем в квадрате диагональ AC, перспектива которой строится по картинному следу и бесконечно удаленной точке D. На пересечении перспектив B_KA_K  и диагонали A_KC_Kопределяется положение перспективы точки A_K. Для построения точек дуги окружности, расположенных на диагоналях квадрата, проведем через них любые прямые, перспективы которых легко построить, например, прямые перпендикулярные картине (рис. 150).

2. упрощенный способ. Этот способ является менее точным, чем традиционный, но достаточным для построения перспективных изображений (рис. 151, 152). Окружность также строится по восьми точкам (точкам касания сторон описанного квадрата и точкам расположенным на диагоналях квадрата). Описанный квадрат также строится по величине стороны, параллельной картине. А для построения точек на диагоналях производится дополнительное построение. Основой построения является сторона квадрата параллельная картине. На половине стороны квадрата параллельной картине строится равнобедренный прямоугольный треугольник так, чтобы половина стороны квадрата была гипотенузой. Затем на стороне квадрата выполняются засечки радиусом равным величине катета, построенного треугольника. Из полученных засечек проводят линии параллельные боковым сторонам квадрата, то есть имеющие общую точку схода. На рис. 152 боковые стороны квадрата перпендикулярны картине, следовательно, их точкой схода является P – главная точка картины.

ПЕРСПЕКТИВНЫЕ МАСШТАБЫ

Так как перспектива передает не действительные размеры, а только пропорциональное соотношение, то измерить величины отрезков можно только зная законы искажения величин в перспективе. Определение размеров производится с помощью так называемых точек измерения (масштабных точек).

На картине, любое семейство параллельных прямых имеет перспективы бесконечно удаленных точек, которые могут служить точками измерения (масштабными точками) Эти точки разумно и просто определить для прямых частного положения.

В качестве точек измерения выбирают характерные точки картины для прямых частного положения.

1. для прямых перпендикулярных картине измерительными точками являются дистанционные точки D₁ и D₂.

2. для прямых параллельных картине и параллельных предметной плоскости (следовательно, параллельных основанию картины) измерительными точками могут быть или P (главная точка картины), или любая точка схода F любых параллельных прямых.

3. для прямых перпендикулярных предметной плоскости Н также измерительными точками могут быть или P (главная точка картины), или любая точка схода F любых параллельных прямых.

Масштаб ширины

Масштаб ширины – это масштаб, построенный на прямых параллельных основанию картины (l // oo). С помощью масштаба ширины можно измерять действительные величины отрезков прямых параллельных основанию картины, на каком бы удалении вглубь картины они не находились.

Измерительными точками могут служить или P (главная точка картины), или Fпроизвольная точка схода любого пучка параллельных прямых.

Геометрический смысл такого построения следующий:

Величина перспективы отрезка равна его действительной величине, только если отрезок находится картине. Для определения действительной величины отрезка, не принадлежащего картинной плоскости, в пространстве через концы измеряемого отрезка надо провести измерительные лучи перпендикулярные картине. Расстояние между картинными следами таких лучей будет равно действительной величине измеряемого отрезка. В перспективном изображении бесконечно удаленной точкой таких лучей будет  P – главная точка картины.

Можно провести параллельные измерительные лучи и под углом к картине. Расстояние между картинными следами таких лучей также будет равно действительной величине измеряемого отрезка. В перспективном изображении бесконечно удаленной точкой таких лучей будет точка схода пучка этих параллельных прямых.

Задача

На дорожках провести параллельно картине разметку для установки скамеек шириной 1 метр (1. –дорожка перпендикулярно картине, 2. дорожка под произвольным углом к картине).

Решение  (рис. 153)

От картинных следов 1₀ и 2₀ провести измерительные лучи в точки P или F. Действительная величина всех отрезков параллельных основанию картины будет равна одному метру.

Задача

Определить действительную величину отрезка АВ.

Решение (рис. 154):

Из измерительной точки P через концы отрезка точки A и B провести измерительные лучи с картинными следами 1₀ и 2₀. отрезок 1₀2₀ будет равен действительной величине отрезкаAB

Масштаб высоты

Масштаб высоты – это масштаб, построенный на прямых, перпендикулярных предметной плоскости (l ┴ H). Он служит для измерения действительных величин вертикальных отрезков.

Измерительными точками могут служить или P (главная точка картины), или Fпроизвольная точка схода любого пучка параллельных прямых.

Геометрический смысл такого построения следующий:

Величина перспективы отрезка равна его действительной величине, только если отрезок находится картине. Для определения действительной величины отрезка, не принадлежащего картинной плоскости, в пространстве через концы измеряемого отрезка надо провести измерительные лучи перпендикулярные картине. Расстояние между картинными следами таких лучей будет равно действительной величине измеряемого отрезка. В перспективном изображении бесконечно удаленной точкой таких лучей будет  P – главная точка картины.

Можно провести параллельные измерительные лучи и под углом к картине. Расстояние между картинными следами таких лучей также будет равно действительной величине измеряемого отрезка. В перспективном изображении бесконечно удаленной точкой таких лучей будет точка схода пучка этих параллельных прямых.

Задача

Построить два забора высотой 1 метр. Первый забор расположить перпендикулярно картине, второй – расположить под произвольным углом к картине.

Решение  (рис. 155):  

От картинного следа 1₀ провести измерительные лучи в точки P или F. Действительная величина всех отрезков перпендикулярных предметной плоскости будет равна одному метру.

Задача

Измерить высоту столбика АВ и расстояние от столбика до картины.

Решение (рис 156):

В качестве измерительной точки для определения высоты отрезка можно было бы выбрать произвольную точку схода F, но, поскольку требуется еще и определить расстояние до картины, в качестве измерительной точки выберем главную точку картины Р. Проведем измерительные лучи из главной точки картины P через точки A и B. Отрезок 1₀1′₀ равен действительной величине отрезка AB.

Из измерительной точки D₁ через перспективу основания точки A′_K проведем измерительный луч с картинным следом 2₀. отрезок 1₀2₀ равен действительной величине расстояния от основания столбика AB до картины.

Если изображение на картине загружено линиями и неудобно проводить измерительные лучи, пересекая перспективное изображение объекта, можно воспользоваться вспомогательной шкалой высот построенной из произвольной точки схода произвольных параллельных горизонтальных прямых F(рис. 156). Возможность использования такой вспомогательной шкалы высот обуславливается тем, что размеры всех объектов одинаково удаленных вглубь картины искажаются одинаково, вне зависимости от их смещения вправо или влево от главной линии картины. Следовательно, измерив, любой отрезок, удаленный вглубь также как и искомый, сможем определить высоту нужного нам отрезка.

Масштаб глубины

Масштаб глубины – это масштаб, построенный на прямых перпендикулярных картине (l ┴ K). Масштаб глубины служит для измерения действительных величин отрезков прямых перпендикулярных картине.

В качестве измерительных точек используются дистанционные точки D₁ и D₂.

Геометрический смысл этого построения заключается в том, что прямо в картинной плоскости нужно построить отрезок равный действительной величине измеряемого отрезка прямой перпендикулярной картине. Это равнозначно построению в пространстве равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами равными действительной величине отрезка. Гипотенуза такого треугольника будет расположена под углом 45₀ к картине, а перспектива такой гипотенузы будет иметь бесконечно удаленную точку в дистанционной точке D.

Задача

На прямой l отложить отрезок АВ = 1м. и отрезок ВС = 2м.

Решение (рис. 157):

1. Из измерительной точки D₁ провести измерительный луч через перспективу основания точки A_K≡A′_K  до пересечения с основанием картины (картинный след – 1₀).

2. отложить на основании картины отрезок равный действительной величине AB – 1 условный метр. Из полученной точки 2₀ провести измерительный луч в точку D₁. Точка пересечения этого луча с перспективой основания прямой l_K≡l′_K определит положение перспективы основания точки B_K≡B′_K.

3. Аналогично построить перспективу точки C_K≡C′_K с помощью измерительного луча D₁3₀.

Задача

Определить действительную величину отрезка АВ.

Решение (рис. 158):

Через дистанционную точку D₁ и перспективы оснований точек A_K≡A′_K и B_K≡B′_K провести измерительные лучи с картинными следами соответственно 1₀ и 2₀. Отрезок между этими лучами на основании картины и покажет действительную величину отрезка AB.

Если размера рамки картины недостаточно для нанесения дистанционной точки можно воспользоваться, так называемыми, дробными дистанционными точками. То есть расстояние от главной точки картины до дробной дистанционной точки кратно в разы меньше расстояния до дистанционной точки (например: P^D/₂ = PD : 2). В этом случае и расстояние между картинными следами измерительных лучей также нужно откладывать пропорционально меньше, например, 1₀2₀ = 2 * 3₀4₀ (рис. 159).