Інвестиції та час. Фінансові розрахунки

Нарахування складних відсотків

Одна з головних проблем при розрахунку інвестицій полягає в тому, щоб зіставити виплати в різні моменти часу. Однакові за величиною витрати, здійснювані в різний час, економічно нерівнозначні.

Відомо, що процес росту основної суми внеску за рахунок нагромадження відсотків називається нарахуванням складного відсотка, а сума, отримана в результаті нагромадження відсотка, називається нарощеною чи майбутньою вартістю суми внеску після закінчення періоду, за який здійснюється розрахунок (рис. 3.3.1). Первісна сума внеску називається поточною вартістю.

                  Ko                                    Kt

                  0       1     2                  t                     Час

                         Рис.3.3.1-Схема нарахування складних відсотків

Якщо позначити майбутню вартість через FV (англ., future value), сучасну вартість через PV (англ., present value), ставку відсотка через Е, число років через t, то одержимо:

 гр. од.

звідки:

 , гр. од.

У фінансово-кредитних розрахунках поряд з вищенаведеними позначеннями застосовують і інші.

Позначивши первісну суму внеску через Ко, майбутню суму в t-ом році через К_t одержимо майбутню (нарощену) вартість

, гр. од.

де (1 + Е)^t — коефіцієнт нарахування складних відсотків (КСВ).

Приклад. У яку суму перетворюється борг, рівний 10 тис. грн. через 5 років при зростанні за складною ставкою 5,5 %?

Рішення. K_t = 10000(1 + 0,055)⁵ = 13069 грн.

Дисконтування

У фінансовій практиці часто постають перед проблемою зворотньою визначенню нарощеної суми: за заданою сумою Кt, яку варто сплатити через якийсь час t, необхідно визначити суму отриманої позички К_о. Така ситуація, наприклад, може виникнути при розробці умов контракту (рис. 3.3.2.). У цьому випадку говорять, що сума K_t дисконтується.

Наведемо формулу дисконтування по складних ставках:

;

 де - (1+E)  - дисконтний множник за t років.

Величину К_о, отриману дисконтуванням K_t, часто називають поточною, сучасною (приведеною) величиною K_t. Вона характеризує ту вихідну (базову) суму, на яку нарахування відсотків дає величину Кt.

                    Ko                                   Kt

                  0      1  2            t                  Час

Рис.3.3.2-Дисконтування

Приклад. Через 5 років з моменту підписання контракту боржник сплатить 13069,6 грн. Кредит наданий під 5,5 % річних. Визначити, яку суму одержав боржник.

Рішення. За наведеною вище формулою знаходимо:

Ко = 13069,6·(1 +0,055) ^-5

Ко = 13069,6 · 0,765134354 = 9999,9992 10000 грн.

В даний час, при оцінці ефективності інвестиційного проекту (ІП) порівняння різночасних показників здійснюється шляхом приведення (дисконтування) їх до вартості в початковому періоді (t = 0). Для приведення різночасних витрат, результатів і ефектів використовується норма дисконту (Е), рівна нормі доходу на капітал, прийнятній для інвестора.

Технічне приведення до базисного моменту часу витрат, результатів і ефектів зручно виконувати методом їхнього множення на коефіцієнт дисконтування a_t, що розраховується для постійної норми дисконту Е:

де t – номер кроку розрахунку (t=0,1,2,3,....Т);

Т – горизонт розрахунку, р.

Результат порівняння двох проектів з різним розподілом ефекту в часі може істотно залежати від норми дисконту. Тому об'єктивний (чи хоча б задовольняючий всіх учасників) вибір її величини досить важливий. У ринковій економіці ця величина визначається виходячи з депозитного відсотка по вкладах (у постійних цінах). На практиці вона приймається більшою за його значення за рахунок інфляції і ризику, пов’язаного з інвестиціями. Якщо прийняти норму дисконту нижче депозитного відсотка, то інвестори забажають вкладати гроші в банк, а не у виробництво. Якщо ж норма дисконту стане вище депозитного відсотка на величину більшу, ніж та, котра виправдується інфляцією й інвестиційним ризиком, то виникне переливання грошей в інвестиції, підвищений попит на них і, як наслідок, – підвищення їхньої ціни, тобто банківського відсотка.

Приведена оцінка норми дисконту справедлива (у ринковій економіці) для власного капіталу. У випадку, коли весь капітал є позиковим, норма дисконту являє собою відповідну процентну ставку, обумовлену умовами процентних виплат і погашенні по позиках. В загальному випадку, коли капітал змішаний, норма дисконту приблизно може бути знайдена як середньозважена вартість капіталу – WACC (Weighted Average Cost of Capital), розрахована з урахуванням структури капіталу, податкової системи та ін.

Іншими словами, якщо мається п видів капіталу, вартість кожного з який (після сплати податків) дорівнює Е_і, а частка в загальному капіталі A, (i = 1,2, ... n), то норма дисконту приблизно дорівнює

У нинішній перехідний період української економіки, який характеризується нестабільністю інфляційних процесів, депозитний відсоток по вкладах не визначає реальну ціну грошей. У цій ситуації можна використовувати два підходи:

1. Для оцінки народногосподарської, тобто економічної ефективності – підхід, підтримуваний низкою закордонних фахівців, відповідно до якого норма дисконту повинна відображати не тільки чисто фінансові інтереси держави, але і систему переваг членів суспільства з приводу відносної значимості доходів у різні моменти часу, у тому числі і з погляду соціальних і екологічних результатів. У цьому зв'язку дана оцінка є власне кажучи „соціальною нормою дисконту” і повинна встановлюватися державою як специфічний соціально-економічний норматив, обов'язковий для оцінки проектів, у яких державі пропонується взяти участь.

2. Для оцінки комерційної ефективності – підхід, при якому кожен господарюючий суб'єкт сам оцінює свою індивідуальну „ціну грошей”, тобто обчислену в частках одиниці реальну (з урахуванням податків і ризику) норму річного доходу на вкладений капітал з обліком альтернативних і доступних на ринку напрямків вкладень з відносним ризиком. Коректуючи її з урахуванням ризику, пов’язаного з конкретним проектом, суб'єкт може визначати й індивідуальну норму дисконту.

Однак, у сучасних умовах при нерозвиненому фондовому ринку, такий підхід складний, хоча і можливий. Крім того, він може привести до помилкових рішень, якщо суб'єкт, як альтернативу, буде застосовувати вкладення засобів у короткострокові спекулятивні операції (з іноземною валютою, імпортними і дефіцитними товарами і т.д.). В цих умовах певним орієнтиром при встановленні індивідуальної норми дисконту може служити депозитний відсоток за вкладами у відносно стабільній іноземній валюті, хоча і тут варто враховувати інфляцію (ріст цін товарів на російському ринку, обчислених в іноземній валюті) і ризик банкрутства комерційних банків, що приймають відповідні депозити.

Сума дисконтування

Передбачається, що маємо справу з рентою, платежі залишаються за роками однаковими. Яка ж наявна вартість цих платежів? Перетворення платіжного ряду в „разовий платіж зараз” (рис. 3.3.3).

                     0        1     2    3                    t час

Рис.3.3.3-Схема визначення суми дисконтування

Сума дисконтування 

,

де Т_О – постійний платіж, гр. од.;

T – горизонт розрахунку, р.

 - коефіцієнт суми дисконтування.

Приклад. Будинок купується або здається за наймом на 5 років, К = 5тис. грн., Е = 0,08.

Рішення.Вартість готівкою на сьогоднішній день

К₀ =5000-3,9927=19963,5 (грн.)

Рента тривалістю більш 50 років називається вічною рентою. При t= ,

Приклад. Земельна ділянка дає річний доход у 1200 грн. Який
 чистий капіталізуємий прибуток при Е = 0,08? Яка вартість ділянки
готівкою при цій процентній ставці?                                    

Рішення.

(грн.)

Ануїтет

Коефіцієнт ануїтету (К_ан) розподіляє суму К₀, для якої зараз наступив термін погашення, у рівні суми платежів (ануїтети) К з обліком відсотка на t років (перетворює „разовий платіж зараз” у платіжний ряд).

Ануїтет

Врахування інфляції

Донедавна,  у формулі нарощення всі грошові величини вимірялися за номіналом, тобто зміна в часі купівельної спроможності грошей не приймалася до уваги. Разом з тим інфляційні процеси в нашій економіці досягли високого рівня і їх необхідно враховувати у фінансових інвестиційних розрахунках.

Якщо позначити очікуваний середній річний рівень інфляції через r, то річний індекс цін складе 1 + r. За t років при збереженні передбачуваного рівня індекс цін буде дорівнювати (1 + r)^t . У підсумку нарощена сума до кінця цього терміну з урахуванням її знецінювання в зв'язку з інфляцією складе:

Величина  являє собою множник нарощення.

Суму нарахованих відсотків можна виразити формулою – К_Е = Кt - Ко,

Інфляційна сума дорівнює:

З зіставлення виразу для розрахунку інфляційної суми випливає, що при Е = r сума нарахованих відсотків покриває лише втрати від інфляції; величина справжньої винагороди інвестору за вкладений капітал дорівнює нулю. І лише в тому випадку, коли процентна ставка на капітал перевищує рівень інфляції, інвестор дійсно одержує визначену винагороду.

Природно, що власники грошей не можуть примирливо спостерігати за їх знеціненням у результаті інфляції і розпочинають застосовувати різні спроби компенсації втрат від зниження їхньої купівельної спроможності. Найбільш розповсюдженим методом компенсації втрат є індексація ставки відсотка, за якою проводиться нарощення. Вона зводиться до збільшення ставки відсотків на величину так званої інфляційної премії.

Назвемо ставку з корегуванням на інфляцію брутто-ставкою. Позначимо її як Ер. Множник нарощення по брутто-ставці визначається на основі ставки Е, що не враховує інфляцію і поправочний множник.

Брутто-ставка – це, власне кажучи, реальна процентна ставка, що враховує інфляцію.