Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите значение выражения:

2. Решите уравнение:

3. Сколько необходимо взять элементов, чтобы число размещений из них по четыре было в 14 раз больше, чем число размещений из n−2 по три?

4. Сколькими способами можно выбрать три ленты разных цветов из пяти лент разных цветов?

5. Сколькими способами можно распределить четыре путёвки в санаторий, между шестью желающими?

6. Из 10 рабочих нужно выбрать четырех для определённой работы. Сколькими способами можно это сделать?

7. Сколько различных произведений, содержащих а) два, б) 3, в) 4 сомножителя, можно составить из цифр: 1, 5, 6, 7, 9?

8. Из состава участников конференции, на которой присутствуют 19 человек, надо избрать делегацию, состоящую из 3 человек. Сколькими способами это можно сделать?

9. Сколькими способами можно образовать из группы в 12 мужчин и 8 женщин комиссию, так чтобы она состояла из 3 мужчин и 4 женщин?

10. Из 5 чайных чашек, 6 блюдец и 7 чайных ложек хотят сервировать стол на три персоны, положив каждой из них одну чашку, одно блюдце и одну ложку. Сколькими способами можно это сделать?

Почему 0! = 1?

Сколькими способами можно выбрать 0 объектов из n имеющихся, то есть сколькими способами можно не выбирать ни одного объекта?

Формально имеем: А = = =1.

Есть только один способ: не выбирать ни одного объекта из n объектов (ничего не делать).

Сколькими способами можно сделать упорядоченный выбор из n объектов всех n? Р =n!.

С другой стороны, это число А  =  =  

 Найдём 0! из равенства: Р  = А , имеем,

 = n!  0! = n! : n! = 1  0! = 1.

Вопросы для самопроверки

1. Что называют «перестановками из п элементов»?

2. Докажите, что число различных перестановок из n элементов равно произведению последовательных натуральных чисел от 1 до n включительно.

3.  Что называют размещением из n элементов по k?

4.  Как найти число различных размещений из n элементов по k элементов?

5.  Докажите, что А  = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ … ∙ (n – k + 1).

6.  Докажите, что А = .

7.  Решите уравнение:

8. Что называют«сочетанием из n элементов по k элементов»?

9. Как найти число сочетаний из n элементов по k элементов?

10. Докажите, что число сочетаний из n элементов по k элементов определяется по формуле C = .

11. Сколько подмножеств имеет 5-элементное множество?

12. Сколько трехэлементных упорядоченных подмножеств можно составить из элементов пятиэлементного множества?

13. Сколько 5-элементных подмножеств можно составить из элементов 5-элементного множества?

14. Сколько трехэлементных подмножеств можно составить из элементов пятиэлементного множества?

15.  Сколько подмножеств можно составить из элементов трехэлементного множества?

16. Решите уравнение:

; ;

13. Какие свойства чисел C  вы знаете?

14. Докажите, что .

15. Докажите, что .

16. Докажите, что .

17. Докажите, что .

18. Докажите правило симметрии.

19.  Докажите, что для k,n: 0 k n, верно равенство:

(n + 1) C =(k + 1) C

20.  Докажите правило Паскаля.

21.  Докажите, что для любого m верны равенства:

а) C  + C  + … + C =2 ;

б) C  – C  + C  – C  +… + (– 1) C  + … + (– 1) C =0;

в) C  + C  + C  + … = C  + C  + C  + …=2 .

22.  Докажите, что для любого m верны равенства:

а) C  + C  + C =С ;

б) C  + C  + C + =С .

Виды соединений с повторениями