Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите значение выражения:

2. Решите уравнение:

3. Сколько трёхсловных предложений можно составить из трёх слов: «сегодня», «солнце», «светит»?

4. Сколько перестановок можно получить из букв, составляющих слово «разность»?

5. Сколькими способами пять человек могут сесть в автомобиль, если любой из них может быть водителем?

6. Собрание сочинений Л.Толстого состоит из шести томов. Сколькими способами можно разместить эти тома на книжной полке? Сколькими способами можно разместить эти тома на книжной полке так, чтобы тома 4 и 6 стояли рядом?

7. Сколькими способами можно разместить эти тома на книжной полке так, чтобы тома 4 и 6 не стояли рядом?

Размещения без повторений

Рассмотрим комбинаторную задачу, связанную с выбором упорядоченных подмножеств некоторого конечного множества.

Общая формулировка этой задачи такова. Имеется множество, состоящее из n элементов. Сколько можно составить упорядоченных подмножеств, содержащих k его элементов?

Определение. Всякое упорядоченное k – элементное подмножество n – элементного множества (k n) называют размещением из n элементов по k элементов.

Число различных размещений из n элементов по k элементов обозначают символом А .

Как следует из определения, два размещения считаются различными, если они отличаются друг от друга хотя бы одним элементом или состоят из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке.

Теорема 7. Число различных размещений из n элементов по k равно произведению k последовательных натуральных чисел, наибольшим из которых является n, то есть

А  = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ … ∙ (n – k + 1) или .

ÿ Так же как при доказательстве теоремы 4 замечаем, что на первое место в упорядоченном k – элементном подмножестве n – элементного множества можно поставить любой из n элементов.

На второе место элемент можно выбрать (n–1) способами, на третье – (n–2) способами и так далее. На последнее k-ое место можно поставить любой из оставшихся n–(k–1)=n–k+1 элементов.

По правилу произведения имеем:

А  = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ … ∙ (n – k + 1).

Последнюю формулу можно записать иначе. Умножим и разделим правую часть равенства на 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ (n – k), тогда

 = =  = .

Теорема 7 доказана.

Задача 1. Сколькими способами можно распределить 5 путёвок в различные дома отдыха, если отдохнуть желают двенадцать человек?

Решение.Так как из 12 человек надо выбрать 5, а затем распределить между ними различные путёвки, то искомое число способов определяется по формуле: А  = .

А = = =8 ∙ 9 ∙ 10 ∙ 11 ∙ 12=95 040 (способов).

Ответ: 95 040 способов.

Задача 2. В группе двадцать девять человек. Надо выбрать старосту, профорга и организатора досуга студентов группы. Сколькими способами можно это сделать, если каждый студент может занимать только один пост?

Решение. Так как важно, какие посты займут выбранные студенты (например, староста – Сидоров, профорг – Иванов, организатор досуга– Петров), то в данной задаче речь идёт о выделении упорядоченных трёхэлементных подмножеств данного множества, содержащего 29 элементов, то есть о размещениях без повторений из 29 элементов по 3. Следовательно, искомое число:

А = =27 × 28 × 29=219 224 (способа).

Ответ: 219 224 способа.

Задача 3. Сколько двухбуквенных комбинаций, не содержащих повторения букв, можно составить из 32 букв русского алфавита?

Решение. Как и в предыдущем случае, мы рассматриваем размещения из 32 букв по 2, по формуле A = ,

имеем: A = =992 (двухбуквенные комбинации).

По данным «Словаря русского языка» из этих 992 комбинаций только 114 выступают в качестве самостоятельных слов.

Ответ: 992 двухбуквенные комбинации.