Задачи для самостоятельного решения

1. Имеется три аудитории на первом этаже, четыре аудитории – на втором этаже, три аудитории – на третьем этаже. Сколькими способами можно выбрать:

а) одну аудиторию; б) три разноуровневые аудитории?

2. Имеется шесть книг А.С.Пушкина, пять книг М.Ю.Лермонтова и семь книг Л.Н.Толстого. Сколькими способами можно выбрать: а) три книги разных авторов; б) одну книгу?

3. Из города А в город В ведут восемь дорог. Сколько можно выбрать маршрутов, чтобы из города А приехать в город В и вернуться обратно? Сколько можно выбрать маршрутов, чтобы из города А приехать в город В и вернуться обратно, если нельзя возвращаться по той же дороге, что ехали в город В?

4. Из города А в город В ведут шесть дорог, из города В в город С ведут три дороги, из города С в город D ведут девять дорог. Сколько можно выбрать маршрутов, ведущих из города А в город D через города В и С?

5. Из одиннадцати слов мужского рода, восьми женского и десяти среднего надо выбрать по одному слову каждого рода. Сколькими способами может быть сделан этот выбор?

6. В группе 29 человек. Надо выбрать старосту, профорга и культорга. Сколькими способами можно это сделать, если каждый студент может занимать только один пост?

7. Сколькими способами могут распределиться призовые места в соревнованиях по легкой атлетике, если в них принимают участие шесть человек?

8. Собрание сочинений Льва Николаевича Толстого состоит из семи томов. Сколькими способами можно разместить эти тома на книжной полке?

9. Сколькими способами могут распределиться места в шахматном турнире, если в них принимают участие 6 человек?

10. Школьники из Волгограда собрались на каникулах поехать в Москву, посетив по пути Нижний Новгород. Турагенство предложило им разные маршруты: из Волгограда в Нижний Новгород можно отправиться на теплоходе или поезде, из Н. Новгорода в Москву – на самолете, теплоходе или автобусе. Сколькими различными способами могут ребята осуществить свое путешествие? Назовите все возможные варианты этого путешествия.

11. Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя цифры 3, 4, 5 и 6? Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя при записи числа каждую из указанных цифр только один раз? Запишите эти числа.

12. Девять школьников, сдавая экзамен по математике, физике и английскому языку, получили отметки «хорошо» и «отлично». Можно ли утверждать, что, по крайней мере, двое из них получили по каждому предмету одинаковые отметки?

13. Сколько трехзначных чисел можно составить из 3 различных, не равных нулю цифр? Зависит ли результат от того, какие цифры  взяты? Укажите какой-нибудь способ перебора трехзначных чисел, при котором ни 1 число не может быть пропущено.

14. Сколько всевозможных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4 так, чтобы цифры в записи числа не повторялись? Изменится ли решение этой задачи, если вместо цифры четыре будет дана цифра ноль?

15. Сколько всевозможных четырехзначных чисел можно составить, пользуясь для записи цифрами 1, 2, 3 и 4? Какова разность между самым большим и самым маленьким из них?

16. Сколько пятизначных чисел, первые (слева) 3 цифры которых 2, 3 и 4, можно составить из цифр 2, 3, 4, 5? Изменится ли ответ в этой задаче, если цифры в записи числа не повторяются?

17. Из цифр 0, 1, 2, 3, 4 составляют всевозможные пятизначные числа, причем так, что в записи каждого числа содержатся все данные цифры. Сколько можно составить таких чисел? Чему будет равна разность между наибольшим и наименьшим из полученных чисел?

18. Сколько натуральных чисел, меньших 1000, можно записать, используя цифры 7, 4 и 5? Сколько среди них четных? Сколько среди них нечетных? Сколько среди них кратных пяти?

Следующие задачи, основу которых составляют теоретические положения данного раздела математики, взяты из учебников математики для начальных классов:

а) От домика лисы к домику волка ведут три дороги, а от домика волка к берлоге медведя две дороги. Сколькими способами лиса может придти в гости к медведю?

б) От избушки к замку можно пройти тремя разными дорогами: вдоль озера, мимо колодца или заходя на мельницу. Сколькими способами можно пройти от избушки к замку и обратно?

в) В тарелке лежало 8 груш и 6 яблок. Сколькими способами можно выбрать один плод?

г) Было 5 конвертов и 4 марки. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для письма?

Вопросы для самопроверки

1. Что изучает раздел математики комбинаторика?

2. Какие задачи называют комбинаторными?

3. Докажите следующие утверждения.

а) Для любых множеств А и В справедливо равенство:

B=(A  B)  (B \ A).

б) Для произвольных множеств А и В справедливо равенство:

(A  B)  (B \ A)=Æ.

в) Для любых множеств А и В справедливо: число элементов разности множеств В и А равно разности числа элементов множества В и числа элементов пересечения множества А и множества В.

4. Чему равно число элементов объединения двух непересекающихся множеств?

5. Чему равно число элементов объединения двух множеств?

6. Что означает запись п!?

7. Найдите число п! для п = 5; 6.

8. Может ли краткая десятичная запись числа п! оканчиваться ровно пятью нулями?

9. Сколько подмножеств имеет трехэлементное множество? Сколько подмножеств имеет пятиэлементное множество? Сколько подмножеств имеет п-элементное множество?