Ряд Фурье при расчете цепи несинусоидального тока

В основе расчета цепей с несинусоидальными ЭДС, напряжениями и токами лежит метод наложения.

Дело в том что периодическая функция f(t) с периодом Т может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье вида:

Здесь , Т - период исходной несинусоидальной функции f(t), А₀ - постоянная составляющая функции f(t), а слагаемые - синусоиды типа  - гармонические составляющие (гармоники) функции f_k (t) c амплитудой А_mk, частотой kω и начальной фазой L_k.

Первое слагаемое  называется первой (основной) гармоникой. Остальные - высшие гармоники.

Первая гармоника называется основной, потому что в ней содержится основная информация об исходной функции. Значения высших гармоник по мере возрастания их номера резко падает. Это позволяет при расчете электрических цепей бесконечный ряд Фурье ограничить несколькими первыми гармониками (как правило - не выше пятой) с сохранением высокой точности вычислений.

Например, разложение в ряд Фурье трапецеидальной функции (рис. 5.1.) приводит к следующему виду:

, т.е. амплитуда третьей гармоники в 9 раз, амплитуда пятой гармоники - в 25 раз, а седьмой - в 49 раз меньше амплитуды первой гармоники при кратном возрастании частоты, что также снижает значение высших гармоник на вид функции.

Рис. _________

Таким образом, например, несинусоидальное питающее напряжение любой цепи после разложения в ряд Фурье приобретает вид:

.

Как и во всех рассмотренных ранее случаях расчет и анализ электрических цепей несинусоидального тока сводится к определению токов в ветвях, напряженний на всех элементах, мощностей в них при разных режимах работы, а при необходимости - электрических потенциалов и установление взаимосвязи происходящих в цепях процессов.

Принципы и логика расчета

Расчет цепей несинусоидального тока состоит из трех этапов.

Первый. Разложение исходной функции f(t) в тригонометрический ряд Фурье.

Правила разложения функции в ряд Фурье приведены во всех учебниках по теоретической электротехнике и теории электрических цепей. Особое внимание при этом следует обратить на особенности разложения функций, обладающих симметрией. 

Второй. Расчет цепи на каждой гармонике в отдельности, включая постоянную составляющую , если она присутствует (функции, ассиметричные относительно оси абсцисс, подобные рис 5.1 постоянных составляющих не содержат).

В результате такого расчета ток в каждой из «n» ветвей схемы приобретает вид:

.

Расчет цепи на постоянной составляющей  = const проводится по алгоритму расчета цепей постоянного тока, когда , а (разрыв ветви с емкостью) .

Расчет по грамоникам проводится по правилам расчета цепей синусоидального тока на каждой из гармоник , обращая внимание на то, что , а  при ,  и .

Третий. Здесь производится определение показаний приборов (амперметр, вольтмертр, ваттметр) в цепи, в целом, а при необходимости - в каждой из «n» ветвей. Для определения показаний амперметров и вольтметров необходимо вычислить среднекватратичные (действующие) значения соответствующих несинусоидальных величин  и .

Легко показать, что при известном составе гармоник токов и напряжений решения этих интегралов, т.е. окончательные формулы для определения действующих значений приобретают вид  и , где I₀ и - постоянные составляющие рядов тока и напряжения, а I_k и  - действующие значения соответствующих гармоник.

Что касается мощности, то она вычисляется простым сложением мощностей гармоник, в каждой ветви или цепи, в целом

При необходимости получить представление о форме кривой несинусоидального тока, это делается графически путем графического сложения значений постоянной составляющей I₀ и каждой из гармоник в конкретных моментах времени t_p, т.е. .

Очень часто несинусоидальные кривые напряжений и токов заменяются эквивалентными синусоидами. При этом действующее значение эквивалентной синусоиды принимается равным вычисленному действующему значению, несинусоидальной величины, амплитуда, например, эквивалентной синусоиды тока в таком случае равна . Период эквивалентной синусоиды принимается равным периоду Т несинусоидальной функции. Соответственно частота равна .

При найденных действующих значениях несинусоидальных напряжений и токов  и I, и мощностей Р, сдвиг по фазе определяется из  и .

Понятно, что векторные диаграммы и символический метод к расчету цепей с несинусоидальными токами и напряжениями в целом применяться не могут. Однако, расчеты цепей на каждой отдельной гармонике приводятся в полном соответствии с правилами расчета цепи синусоидального тока, в том числе с применением векторных диаграмм и комплексных преображений. При этом следует помнить, что величины реактивных сопротивлений на разных приемниках существенно (кратно) отличаются друг от друга.

В этой связи в цепях с несинусоидальными напряжениями и токами смысл явления резонанса теряется. Однако, любая электрическая цепь при наличи в ней индуктивностей и емкостей может резонировать на одной из гармоник, для которой будет выполняться условие .

Это позволяет использовать резонирующие на отдельных частотах электрические цепи в качестве электрических фильтров для выделения из совокупности гармоник синусоиды нужной частоты, что широко используется в связи.

Условия возникновения резонансов в цепи в целом или на определённых участках ее на той или иной частоте определяются по правилам определения резонансов в целях синусоидального тока.

Пример расчета.

Рис. _______

В представленной здесь схеме R₁ = 1 Ом, R₃ = 0,5 Ом. Разложенное в ряд Фурье входное периодическое несинусоидальное напряжение имеет вид . Это значит, что в питающем напряжении присутствуют: 

- постоянная составляющая (постоянное напряжение) В;

- первая (основная) гармоника синусоида с частотой ω;

- третья гармоника - синусоида с частотой 3ω.

Вторая гармоника в составе напряжения отсутствует, что очень часто бывает.

Индуктивное сопротивление на основной частоте х_L = ωL = 1 Ом, емкостное сопротивление Ом.

Необходимо вычислить:

- токи во всех ветвях схемы;

- показания приборов;

- мощность в каждой ветви и баланс мощностей.

Решение

Расчет ведется на каждой из гармоник питающего напряжения без какой-либо связи между ними.

1. Расчет на постоянной составляющей (нулевой гармонике)

Здесь речь идет о расчете цепи при постоянном питающем напряжении В, как цепи постоянного тока (напряжения).

Емкость в этом случае есть разрыв второй ветви, включенной узлами, а участок с индуктивностью (cd) в третьей ветви - короткое замыкание. Значит, цепь состоит из одной общей вевтви с последовательным соединением сопротивлений R₁, R₃, т.е. ток в ней равен .

Таким образом,

.

В

2. Расчет на основной частоте (первая гармоника)

Здесь речь идет о расчете паралелльно-последовательной цепи синусоидального тока при питающем напряжении .

Проще всего расчет произвести в символической форме по комплексным действующим значениями. В таком случае на первой гармонике:

В

 Ом

 Ом

Входное (эквивалентное) сопротивление на первой гармонике

Таким образом, ток первой ветви (входной ток) на первой гармонике

.

Синусоида этого тока имеет вид

Падение напряжения между узлами а и b (на параллельных ветвях) на первой гармонике

Ток во второй ветви на первой гармонике

Синусоида этого тока

Ток в третьей ветви

Синусоида третьего тока

3. Расчет на третьей гармонике

В

Ом

Ом

Ом

Входное сопротивление

Ток первой ветви 

.

Синусоида этого тока

 т.е.

Синусоида этого тока

Синусоида этого тока

4. Реальные (результирующие) токи в ветвях схемы

,

,

5. Действующие значения напряжений и токов и показания приборов в схеме:

Входное напряжение и показание первого вольтметра

В

Токи в ветвях схемы и показания амперметров

В

6. Вычисление активных мощностей и составление энергетического баланса. 

6.1. Мощность источника напряжения (входная мощность):

6.2. Мощность источника вычисляется на каждой гармонике отдельно по традиционной формуле

Мощность приемников электрической энергии.

Приемников, в которых имеет место активная мощность, в цепи два: R₁ и R_3.

В этих приемниках мощность может быть вычислена и как сумма мощностей на каждой k-той гармонике , и как мощность, рассматриваемая на каждом приемнике действующим (среднеквадратичном) значением несинусоидального тока, что, как правило, проще.

В нашем случае общая мощность на сопротивлении R = 1 Ом

Вт

На втором приемнике R₂ = 0,5 Ом 

 Вт

6.3. Баланс мощностей

, т.е. Вт

Расхождение находится в пределах допустимых погрешностей (1,008%).