Примеры расчета цепей с магнитными связями

Пример 1.

Рис. 101

Две реальных индуктивности с параметрами L₁ = 27,5 мГн, R₁ = 10 Ом, L₂ = 24,15 мГн, R₂ = 5 Ом включены согласованно (рис. __). Показания приборов при этом В, А. При встречном включении эти показания В, а А.

Определить величину взаимоиндукции М при t = 400 Гц.

Решение

При согласованном включении

Здесь ,  и . Величина (модуль) этого сопротивления: Ом.

Отсюда легко найти величину : Ом

Аналогично при встречном включении:

Модуль этого сопротивления Ом, следовательно  Ом.

Таким образом, , откуда

Ом, а мГн

Пример 2

Две реальные магнитно связанные индуктивности включены параллельно на напряжение (рис. 105). При этом R₁= 9 Ом, Ом, R₂ = 6 Ом, Ом. Определить токи в ветвях цепи. Построить векторные диаграммы каждой ветви.

Рис. 102

Решение

Ясно, что при таком включении катушек они включены согласованно. Это значит, что падения напряжений от взаимоиндукции  и , совпадают по направлению с падениями напряжения от самоиндукции  и , которые, в свою очередь, совпадают по направлению с соответствующим током  и . По направлению с током, естественно, совпадают и падения напряжения на резисторах R₁ и R_2.

Каждая из ветвей здесь рассчитывается по второму закону Кирхгофа.

Первая ветвь:

Вторая ветвь:

Таким образом, получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

Решение этой системы приводит к следующему:

Векторные диаграммы токов и формируемых ими напряжений представлены на рис. ___.

Понятно, что за опорные векторы здесь нужно принимать векторы двух токов  и . Для построения векторных диаграмм напряжений необходимо определить величины действующих значений падений напряжений на элементах R и L каждой ветви , с учетом падения напряжений от взаимной индукции: на первой ветви:

На второй ветви:

На второй ветви:

Падения напряжения на активных сопротивлениях ветвей (катушек) совпадают по фазе со «своими» токами. Падения напряжения от самоиндукции на идеальных катушках (их активные сопротивления выделены и учтены отдельно) во всех случаях опережают токи соответствующих ветвей на .

Падение напряжения от магнитной связи двух идеальных катушек индуктивности в одной из них формируется током другой катушки.

Это означает, что вектор напряжения первой катушки опережает на 90⁰ ток второй катушки. В то же время напряжение взаимоиндукции на второй катушке опережает на 90⁰ ток . Это обстоятельство и учитывается при построении векторной диаграммы цепи.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа для первой ветви . Векторная диаграмма для нее построена на рис. 103.

Рис. 103

Здесь , ,  (токи строятся с учетом их начальных фаз).

С целью большей наглядности диаграмма построена без точного соблюдения масштабов токов и напряжений.

Векторную диаграмму второй ветви, которая строится при полной аналогии с первой, рекомендуется построить самостоятельно.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.

В схеме, представленной на рисунке R₁ = 20 Ом, R₂ = 10 Ом, L₁ = 0,2 Гн, L₂ = 0,1 Гн, С₁ = 50 мк, М = 4 Гн, ω = 400 рад/с.

Напряжение на параллельных ветвях = . Вычислить напряжение на емкости.

Ответ: .

Задача 2.

В представленной схеме , х_L2 = 2 Ом, х_L3 = 3 Ом, х_М = 1 Ом, R₁ = 4 Ом.

Определить токи в ветвях схемы.

Ответ: , ,

Задача 3

Определить входное сопротивление представленной здесь схемы, если х_L1 = 10 Ом, х_L2 = 5 Ом, х_с3 = 10 Ом, х_М = 5 Ом.

Ответ: