Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
ПО ТЕОРИИ РЯДОВ Задача 37.Найти область сходимости степенного ряда Решение. Данный степенной ряд можно записать так: (1) Применяем признак Даламбера: Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала. При ряд (1) примет вид (2) Ряд (2) является знакочередующимся; его общий член по абсолютному значению стремиться к нулю при n®¥. По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что ряд (2) сходится. Следовательно, значение х=-2/3 принадлежит области сходимости данного ряда. Подставив в (1) х=2/3, получим (3) Ряд (3) расходится (для этого достаточно сравнить его с гармоническим рядом). Следовательно, значение х=2/3 не принадлежит области сходимости данного ряда. Таким образом, - область сходимости исследуемого ряда.
Задача 38.Вычислить интеграл с точностью до 0,0001. Решение. Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции sinx, будем иметь Тогда Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде четвертый член по абсолютному значению меньше 0,0001, то ограничиваемся только первыми тремя членами. Итак,
Задача 39.Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x), заданную на интервале – периоде (-p,p): Решение. Заданная функция f(x) удовлетворяет условиям разложения в ряд Фурье, поэтому имеем равенство (1) где an и bn определяются по формулам (2) (3) Положив в (2) n=0, получим коэффициент а0: Используя формулу (2) и заданную функцию, имеем Интегрируя по частям, получаем Определим коэффициенты bn: Интегрируя по частям, получаем Подставляя найденные значения коэффициентов Фурье в (1), получаем
Задача 40. Функцию в интервале (0;p) разложить в ряд косинусов. Решение.Так как по условию ряд заданной функции должен содержать только косинусы кратных дуг, то продолжим функцию в интервале (-p;0) четным образом. В результате будет получена четная функция, которая совпадает с заданной на интервале (0;p). Известно, что ряд Фурье для четной функции имеет вид (1) где (2) При n=0 получаем: Интегрируем по частям: Подставив найденные значения коэффициента Фурье в (1), получим
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Задача 41.Найдите общее решение уравнения 2хуdx+(y2-x2)dy=0. Решение.Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных х и у. Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х. Если у=хt, то дифференциал dy=d(xt)=tdx+xdt, и данное уравнение примет вид Сократив на х2, будем иметь: Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения: Потенцируя, находим , или . Из введенной подстановки следует, что . Следовательно, или - общее решение данного уравнения.
Задача 42.Найти общее решение уравнения . Решение. Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию у и ее производную у’ в первой степени и не содержит их произведений. Применяем подстановку у=uv, где u и v – некоторые неизвестные функции аргумента х. Если у=uv, то y’=(uv)’=u’v+uv’ и данное уравнение примет вид или (1) Так как искомая функция у представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию u так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части равенства (1), обращалось в нуль, т.е. выберем функцию u так, чтобы имело место равенство (2) При таком выборе функции u уравнение (1) примет вид (3) Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными относительно u и х. Решим это уравнение: (Чтобы равенство(2) имело место, достаточно найти одно какое-либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С=0). Подставив в (3) найденное выражение для u, получим: . Интегрируя, получаем . Тогда - общее решение данного уравнения.
Задача 43.Дано уравнение: . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: у(0)=1; у’(0)=3. Решение. Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно функцию у. Положим у’=р, где р – некоторая функция аргумента х. Если у’=р, то и данное уравнение примет вид . Мы получили уравнение первого порядка относительно переменных р и х. Решим это уравнение: Определим численное значение С1 при указанных начальных условиях. Имеем 3=С1(0+1). Следовательно, С1=3. Теперь решаем уравнение первого порядка : Определим численное значение С2 при указанных начальных условиях. Имеем 1=0+0+С2; С2=1. Таким образом, есть частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
Задача 44. Дано уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: у(-1)=4; у’(-1)=1. Решение.Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента х. Положим у’=р, где р – некоторая функция переменной у. Если у’=р, то . Тогда данное уравнение примет вид Если приравнять нулю первый множитель, то получаем: р=0; у’=0; у=С – решение данного уравнения. Приравняем нулю второй множитель: Используя начальные условия, находим С1: Далее решаем уравнение : Теперь определим значение С2: Тогда - искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
Задача 45.Решить систему уравнений и выделить частные решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям: Решение. Обе части первого уравнения системы продифференцируем по переменной t: В полученном уравнении заменим правой частью второго уравнения системы. В результате получим однородное линейное уравнение второго порядка: (1) Составим и решим соответствующее однородное линейное уравнение: (2) Характеристическое уравнение k2-k-6=0 имеет корни: k1=-2, k2=3. Следовательно, общее решение (2) имеет вид Находим частное решение х=Аt+В. Дважды дифференцируя, получим (х)'=А, (х)’’=0. Подставив в (1), находим А=-3 и В=0. Следовательно, х=-3t и (3) Из первого уравнения системы находим, что , или , откуда (4) Подставив начальные условия в (3) и (4), получим систему С1+С2=1 и 3С1-2С2=3. Решение этой системы дает С1=1 и С2=0. Следовательно, - частные решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям.
Задача 46.Найти первые три (отличные от нуля) члена разложения в ряд Маклорена функции у(х), являющиеся частным решением дифференциального уравнения у’=х+х2-у2+сosх, если у(0)=1. Решение. Положим, что у(х) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если у(х) допускает разложение в ряд Маклорена, то имеем (1) Свободный член разложения (1), т.е. у(0), дан по условию. Чтобы найти значения y'(0), y’’(0), y’’’(0),…, можно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной х и затем вычислить значения производных при х=0. Значение у’(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение: Подставив найденные значения производных при х=0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения: |
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 243. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |