ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Задача 25.Вычислить неопределенный интеграл

Решение.Если интеграл  не может быть вычислен непосредственно по формулам интегрирования элементарных функций, то во многих случаях введение новой переменной t позволяет преобразовать подынтегральное выражение f(x) dx к такому виду, интегрирование которого можно провести либо по таблице, либо известным приемом.

Независимую переменную x заменим по формуле

где – дифференцируемая функция.

Затем определим  

,    

и                                       .

Полученная формула носит название формулы замены переменной в неопределенном интеграле.

В данном примере, согласно методу замены переменной (подстановки) получаем

Задача 26.Вычислить интеграл

Решение.Вычислим данный интеграл методом интегрирования по частям.

Формула интегрирования по частям

предполагает, что  в правой части может быть вычислен легче, чем исходный интеграл.

Приведем следующие рекомендации для применения метода интегрирования по частям.

1. Понижение степени многочлена P_n(x) в интеграле типа:

Обозначение многочлена P_n(x) через u приводит к понижению степени многочлена в .

2. Избавление от трансцендентных функций в интегралах типа:

В результате обозначения трансцендентных функций через u в  эти функции будут отсутствовать.

В данном примере через u целесообразно обозначить трансцендентную функцию . В итоге получим:

Задача 27.Вычислить интеграл

Решение.В данном примере интегрирование по частям применяют несколько раз:

Задача 28.Вычислить определенный интеграл  

Решение.Сделаем подстановку. Пусть . Тогда 2х+5=z³; 2dx=3z³dz; dx=3/2z²dz. Определим пределы интегрирования для переменной z. При х=-2 получаем z=1, при х=11 получаем z=3.

Выразив подынтегральное выражение через z и переходя к новым пределам получим

Так как разность кубов , то, сократив на знаменатель, получим 

Задача 29.Вычислить площадь поверхности эллипсоида, полученного вращением вокруг оси Ох эллипса:

                                  (1)

Решение. Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги кривой y=f(x) между точками с абсциссами х=а и х=b, вычисляется по формуле

                                               (2)

Из уравнения эллипса (1) находим . Производная . Используя формулу (2), получим

Чтобы вычислить последний интеграл, положим . Тогда z=0 при х=0 и z=p/4 при х=2. Имеем

Задача 30.Вычислить несобственный интеграл  или установить его расходимость.

Решение.Подынтегральная функция  имеет бесконечный разрыв при х=1, т.е. в точке, принадлежащей интервалу интегрирования. Данный интеграл является несобственным. Если подынтегральная функция f(x) интеграла  имеет бесконечный разрыв при х=с, где а<с<b, а во всех других точках отрезка [a,b]непрерывна, то по определению полагают:

                   (*)

Если оба предела в правой части(*) существуют, то интеграл  называется сходящимся. Если хотя бы один из указанных пределов не существует, то интеграл  называется расходящимся.

Следовательно, данный интеграл – сходящийся.

Замечание. Равенство (*) можно использовать для каждой отдельной точки разрыва, принадлежащей интервалу (a,b).

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ И ИНТЕГРАЛЬНОМУ