Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Тема 27. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Высших порядков. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия. Уравнения, допускающие понижение порядка. Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Учебная литература. Основная: 1, 3, 4, 6. Дополнительная: 4, 5, 9, 14, 16, 17. î Контрольная работа №6. Дифференциальные уравнения. Тема 28. Уравнения математической физики.
Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям в частных производных. Теплопроводность. Уравнение Лапласа. Формулировка краевых задач. Учебная литература. Основная: 1, 3, 4, 6. Дополнительная: 4, 5, 9, 14, 16, 17.
Раздел 13. Функциональный анализ Тема 29. Элементы функционального анализа
Понятие о линейных пространствах. Линейные функционалы и линейные операторы. Учебная литература. Основная: 3, 6. Дополнительная: 11, 15. Раздел 14. Численные методы и конечные разности Тема 30. Численные методы и конечные разности. Численное решение уравнений. Конечные разности и разностные уравнения. Интерполяция функций. Аппроксимация функций. Численное интегрирование дифференциальных уравнений. Учебная литература. Основная: 3, 4, 6. Дополнительная: 2, 4, 5, 9, 10, 16, 17. Раздел 15. Элементы теории вероятностей, случайных процессов и математической статистики Тема 31. Комбинаторика. Случайные события. Вероятность Случайного события. Элементы комбинаторики. Определение и представление вероятностных моделей. Понятие случайного события. Вероятность случайного события. Аксиоматический подход к определению вероятности. Геометрические вероятности. Произведение и сумма событий, теоремы сложения и умножения вероятностей. Формулы полной вероятности и Байеса. Повторение испытаний, схема Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Учебная литература. Основная: 2, 3. Дополнительная: 6, 7, 8, 12.
Тема 32. Случайные величины, одномерные и многомерные распределения вероятностей. Понятие случайной величины, дискретные и непрерывные случайные величины. Функция и плотность распределения. Числовые характеристики случайных величин. Одномерные и многомерные распределения вероятностей. Функции от случайных величин. Замена переменных. Сходимость по вероятности и предельные теоремы. Специальные методы решения вероятностных задач. Специальные распределения вероятностей. Учебная литература. Основная: 2, 3. Дополнительная: 6, 7, 8, 12. î Контрольная работа №7.Вероятность и законы распределения.
Тема 33. Элементы теории случайных процессов Стационарные случайные процессы. Корреляционные функции и спектральные плотности. Типы случайных процессов. Действия над случайными процессами. Учебная литература. Основная: 2, 3. Дополнительная: 6, 7, 8, 12.
Тема 34. Математическая статистика Статистические методы, статистическое описание, определение и вычисление статистик случайной выборки, типовые распределения вероятностей, оценки параметров, выборочные распределения, проверка статистических гипотез, некоторые статистики, выборочные распределения и критерии для многомерных распределений, статистика и измерения случайного процесса. Учебная литература. Основная: 2, 3. Дополнительная: 6, 7, 8, 12. î Контрольная работа №8. Математическая статистика.
Тема 35. Элементы теории массового обслуживания Основы теории массового обслуживания. Формулировка прикладных задач экозащиты, безопасности и риска. Проверка и оценка в задачах со случайными процессами на примере решения задач экозащиты, безопасности и риска. Моделирование оперативной деятельности подразделений МЧС как системы массового обслуживания. Учебная литература. Основная: 2, 3. Дополнительная: 6, 7, 8, 12. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ
Задача 1. Данную систему записать в матричной форме и решить с помощью обратной матрицы: (1) Решение. Пусть А – матрица коэффициентов при неизвестных; Х – матрица-столбец неизвестных х1, х2, х3 и Н – матрица-столбец из свободных членов: Левую часть системы (1) можно записать в виде произведения матриц А.Х, а правую – в виде матрицы Н. Следовательно, имеем матричное уравнение А.Х=Н. (2) Если определитель матрицы А отличен от нуля, то матрица А имеет обратную матрицу А-1. Умножим обе части равенства (2) слева на матрицу А-1, получим А-1.А.Х=А-1.Н. Так как А-1.А=Е, где Е – единичная матрица, а Е.Н=Х, то Х= А-1.Н. (3) Формулу (3) называют матричной записью решения системы линейных уравнений. Чтобы воспользоваться формулой (3), необходимо сначала найти обратную матрицу А-1: определитель Заменив (3) соответствующими матрицами, имеем Откуда х1=2, х2=4, х3=-1.
Задача 2. Решить методом Гаусса следующую систему линейных уравнений: Решение. Исключим из последних двух уравнений х1. Для этого умножим первое уравнение на -5 и результаты прибавим соответственно ко второму уравнению, затем обе части первого уравнения умножим на -3 и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему эквивалентную данной: (1) Разделив обе части второго уравнения системы (1) на 2 получим систему (2) Теперь исключим из третьего уравнения системы (2) х2. Для этого обе части второго уравнения этой системы умножим на -7 и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему (3) Откуда х3=3, х2=1 и х1=-2. Приведение данной системы к ступенчатому виду (3) практически более удобно, если использовать преобразования расширенной матрицы данной системы, т.е. матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Для удобства столбец свободных членов этой матрицы отделим вертикальной чертой. Расширенная матрица данной системы имеет вид Умножим элементы первой строки матрицы на -5 и результаты прибавим к элементам второй строки, затем умножим элементы первой строки на -3 и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу Разделив элементы второй строки на 2, получим Элементы второй строки умножим на -7 и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу которая позволяет данную систему привести к виду (3) и затем решить ее.
Задача 3.Решить методом Гаусса систему уравнений Решение. Составим расширенную матрицу системы: Умножив элементы первой строки последовательно на -2, -4 и -5. Полученные результаты прибавим соответственно к элементам второй, третьей и четвертой строк. Получим матрицу Элементы второй строки умножим на 6 и результаты прибавим к элементам третьей строки, затем элементы второй строки прибавим к элементам четвертой строки. Получим матрицу Элементы третьей строки разделим на -2 и затем элементы четвертой строки прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу Теперь элементы третьей строки умножим на 13 и результаты прибавим к элементам четвертой строки. Получим матрицу Следовательно, данную систему можно записать так: Откуда х4=0, х3=2, х2=-1 и х1=3. Матрицы, получаемые после соответствующих преобразований, являются эквивалентными. Их принято соединять знаком ~.
Задача 4.Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна: Решение. Пусть А – матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных. Она называется матрицей системы. Если к матрице а присоединить столбец свободных членов, то полученная матрица В называется расширенной матрицей системы. При исследовании систем линейных уравнений пользуются теоремой Кронекера-Капелли: для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы. При этом если ранг матрицы А равен рангу матрицы В и равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если же ранг матрицы А равен рангу матрицы В, но меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное число решений. Если ранг матрицы А меньше ранга матрицы В, то система несовместна и решения не существует. Определим ранг матрицы системы: Преобразуем матрицу А. Сумму элементов первых двух столбцов прибавим к соответствующим элементам третьего столбца: Так как все элементы третьего столбца оказались равными нулю, то единственный минор третьего порядка, который имеет эта матрица, равен нулю. С другой стороны минор второго порядка . Следовательно, ранг матрицы А равен 2, т.е. r(A)=2. Определим теперь ранг расширенной матрицы В: Преобразуем матрицу В. Сумму элементов первых двух столбцов прибавим к соответствующим элементам третьего столбца. Тогда все элементы третьего столбца будут равны нулю. Затем элементы первого столбца умножим на 2 и их сумму вычтем из соответствующих элементов четвертого столбца: Так как в полученной матрице, которая эквивалентна расширенной матрице В, элементы двух последних столбцов равны нулю, то все миноры третьего порядка матрицы В равны нулю и, следовательно, ранг матрицы В не может быть равен трем. Таким образом, ранг матрицы В тоже равен 2, т.е. r(В)=2. Итак, r(A)=r(В)=2, но заданная система содержит 3 неизвестных. Поэтому система имеет бесконечное число решений. Выбираем в качестве базисного минора , а в качестве базисных неизвестных х1 и х2. Составляем подсистему, состоящую из первых двух уравнений заданной системы (третье уравнение отбрасываем). Свободное неизвестное х3 переносим в правую часть. Получаем Решая последнюю систему относительно базисных неизвестных х1 и х2, находим х1=3+х3, х2=2+х3. Полученное решение называется общим. Если свободное неизвестное х3 примет определенное значение, то можно найти соответствующие значения базисных неизвестных х1 и х2. Например, пусть х3=-2, тогда х1=1, х2=0. Легко проверить, что эти решения удовлетворяют всем трем уравнениям заданной системы уравнений. Задача 5.Даны координаты вершин треугольника АВС: А (4; 3), В (16; -6), С (20; 16). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD; 6)уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ; 7) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой CD. Решение. 1. Расстояние d между точками A (x1; y1) и B (x2; y2) определяется по формуле (1) Применяя (1), находим длину стороны АВ: 2. Уравнение прямой проходящей через точки А (x1; y1) и B (x2; y2), имеет вид (2) Подставляя в (2) координаты точек А и В, получим уравнение стороны АВ: Решив последнее уравнение относительно y, находим уравнение стороны АВ в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом: Подставив в (2) координаты точек В и С, получим уравнение прямой ВС: 3. Известно, что тангенс угла j между двумя прямыми, угловые коэффициенты, которых соответственно равны k1 и k2, вычисляется по формуле (3) Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС, угловые коэффициенты которых найдены: kAB=-¾; kВС=5,5. Применяя (3), получим 4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид (4) Высота CD перпендикулярна стороне АВ. Чтобы найти угловой коэффициент высоты CD, воспользуемся условием перпендикулярности прямых. Так как kAB=-¾, то kCD= . Подставив в (4) координаты точки С и найденный угловой коэффициент высоты, получим Чтобы найти длину высоты UD, определим сперва координаты точки D – точки пересечения прямых АВ и CD. Решая совместно систему находим По формуле (1) находим длину высоты CD: 5. Чтобы найти уравнение медианы АЕ, определим сначала координаты точки Е, которая является серединой стороны ВС, применяя формулы деления отрезка на две равные части: (5) Следовательно, Подставив в (2) координаты точек А и Е, находим уравнение медианы: Чтобы найти координаты точки пересечения высоты CD и медианы АЕ, решим совместно систему уравнений 6. Так как искомая прямая параллельная стороне АВ, то ее угловой коэффициент будет равен угловому коэффициенту прямой АВ. Подставив в (4) координаты найденной точки К и угловой коэффициент k=-¾, получим Рис. 1. Рис. 2
7. Так как прямая АВ перпендикулярна прямой CD, то искомая точка М, расположенная симметрично точке А относительно прямой CD, лежит на прямой АВ. Кроме того, точка D является серединой отрезка АМ. Применяя формулы (5), находим координаты искомой точки М: Треугольник АВС, высота CD, медиана АЕ, прямая KF и точка М построены в системе координат хОy на рис. 1.
Задача 6.Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А (4;0) и до данной прямой х=1 равно 2. Решение. В системе координат xOy построим точку А (4;0) и прямую х=1. Пусть М (x;y) – произвольная точка искомого геометрического места точек. Опустим перпендикуляр МВ на данную прямую х=1 и определим координаты точки В. Так как точка В лежит на заданной прямой, то ее абсцисса равна 1. Ордината точки В равна ординате точки М. Следовательно В (1;y) (рис. 2). По условию задачи МА:МВ=2. Расстояния МА и МВ находим по формуле (1) задачи 1: Возведя в квадрат левую и правую части, получим Полученное уравнение представляет собой гиперболу, у которой действительная полуось а=2, а мнимая . Определим фокусы гиперболы. Дли гиперболы выполняется равенство . Следовательно, – фокусы гиперболы. Как видно, заданная точка А (4;0) является правым фокусом гиперболы. Определим эксцентриситет полученной гиперболы: Уравнения асимптот гиперболы имеют вид и . Следовательно, , или и – асимптоты гиперболы. Прежде чем построить гиперболу, строим ее асимптоты.
Задача 7.Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки А (4;3) и прямой y=1. Полученное уравнение привести к простейшему виду. Решение. Пусть М (х;у) – одна из точек искомого геометрического места точек. Опустим из точки М перпендикуляр МВ на данную прямую у=1 (рис. 3). Определяем координаты точки В. Очевидно, абсцисса точки В равна абсциссе точки М, а ордината точки В равна 1, т.е. В (х;1). По условию задачи МА=МВ. Следовательно, для любой точки М (х;у), принадлежащей искомому геометрическому месту точек, справедливо равенство: или Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке О’ (4;2). Чтобы уравнение параболы привести к простейшему виду, положим х-4=Х и у+2=Y; тогда уравнение параболы принимает вид: Y= ¼Х2(*). Чтобы построить найденную кривую перенесем начало координат в точку О’ (4;2), построим новую систему координат ХО’Y оси которой соответственно параллельны осям Ох и Оy, и затем в этой новой системе построим параболу (*) (рис. 3).
Рис. 3. Рис. 4
Задача 8.Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, если она проходит через точки А (-8;12), В (12; ). Найти все точки пересечения этой гиперболы с окружностью с центром в начале координат, если эта окружность проходит через фокусы гиперболы. Решение. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид По условию точки А и В лежат на гиперболе. Следовательно, координаты этих точек удовлетворяют уравнению (1). Подставив в уравнение (1) вместо текущих координат х и у координаты точек А и В, получим систему двух уравнений относительно неизвестных а и b: Решая систему, получаем: а2=16, b2=48. Таким образом, уравнение искомой гиперболы . Определим фокусы этой гиперболы. Имеем с2=а2+b2=16+48=64; с=8; F1 (-8;0), F2 (8;0). Уравнение окружности, проходящей через начало координат, имеет вид где R – радиус окружности. Так как по условию окружность проходит через фокусы гиперболы, то R=c=8. Следовательно, - уравнение окружности. Чтобы найти точки пересечения гиперболы с окружностью, решим систему уравнений В результате получим 4 точки пересечения: М1 ( ;6), М2 (- ;6), М3 (- ;-6), М4 ( ;-6) (рис. 4).
Задача 9.Даны координаты вершин пирамиды АВСD: А (2;1;0), В (3;-1;2), С (13;3;10), D (0;1;4). Требуется: 1) записать векторы в системе орт i, j, k и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами ; 3) найти проекцию вектора на вектор ; 4) найти площадь грани АВС; 5) найти объем пирамиды АВСD. Решение. 1. Произвольный вектор а может быть представлен в системе орт i, j, k следующей формулой: (1) где ах, ау, аz – проекции вектора а на координатные оси Ох, Оу и Оz, а i, j, и k – единичные векторы, направления которых совпадают с положительным направлением осей Ох, Оу и Оz. Если даны точки М1 (х1;у1;z1) и М2 (х2;у2;z2), то проекции вектора на координатные оси находятся по формулам: (2) Тогда (3) Подставив в (3) координаты точек А и В, получим вектор : Аналогично, подставляя в (3) координаты точек А и С, находим Подставив в (3) координаты точек А и D, находим вектор : Если вектор а задан формулой (1), то его модуль вычисляется по формуле (4) Применяя (4), получим модули найденных векторов: 2. Косинус угла между двумя векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей. Находим скалярное произведение векторов и : Модули этих векторов уже найдены: . Следовательно, 3. Проекция вектора на вектор равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора : Площадь грани АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Обозначим векторное произведение вектора на вектор через вектор Р. Тогда, как известно, модуль вектора Р выражает собой площадь параллелограмма, построенного на векторах и , площадь грани АВС будет равна половине модуля вектора Р: 5. Объем параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных вектора, равен абсолютной величине их смешанного произведения. Вычислим смешанное произведение : Следовательно, объем параллелепипеда равен 144 куб. ед., а объем заданной пирамиды АВСD равен 24 куб. ед.
Задача 10.Даны координаты четырех точек: А (0;-2;-1), В (2;4;-2), С (3;2;0) и М (-11;8;10). Требуется: 1) составить уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В и С; 2) составить канонические уравнения прямой, проходящий через точку М перпендикулярно плоскости Q и с координатными плоскостями хОу, хОz и уОz; 4) найти расстояние от точки М до плоскости Q. Решение. 1. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки А (х1;у1;z1), В (х2;у2;z2), С (х3;у3z3), имеет вид (1) Подставляя в (1) координаты точек А, В и С, получим: Разложим определитель по элементам первой строки: Сократив на 5, получим уравнение искомой плоскости Q: (2) 2. Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид (3) где х0, у0, z0 – координаты точки, через которую проходит прямая (3), а m, n, p – направляющие коэффициенты этой прямой. По условию прямая проходит через точку М (-11;8;10) и перпендикулярна плоскости Q. Следовательно, подставив в (3) координаты точки М и заменив числа m, n и p соответственно числами 2;-1;-2 [коэффициенты общего уравнения плоскости (2)], получим (4) 3. Чтобы найти точки пересечения прямой (4) с плоскостью (2), запишем сначала уравнения прямой (4) в параметрическом виде. Пусть , где t – некоторый параметр. Тогда уравнения прямой можно записать так: (5) Подставляя (5) в (2), получим значение параметра t: Подставив в (5) t=6, находим координаты точки Р пересечения прямой (4) с плоскостью (2): Пусть Р1 – точка пересечения прямой (4) с координатной плоскостью хОу; уравнение этой плоскости z=0. При z=0 из (5) получаем Пусть Р2 – точка пересечения прямой (4) с плоскостью хОz; получаем уравнение этой плоскости у=0. При у=0 из (5) получаем Пусть Р3 – точка пересечения прямой (4) с плоскостью уОz. Уравнение этой плоскости х=0. При х=0 из (5) получаем 4. Так как точка М лежит на прямой (4), которая перпендикулярна плоскости Q и пересекается с ней в точке Р, то для нахождения расстояния от точки М до плоскости Q достаточно найти расстояние между точками М и Р:
Задача 11.Даны координаты трех точек: А (-5;2;-2), В (-1;4;-6), С (-4;1;-6). Требуется найти: 1) канонические уравнения прямой АВ; 2) уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ и точку пересечения этой плоскости с прямой АВ; 3) расстояние от точки С до прямой АВ. Решение. 1. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки А (х1;у1;z1) и В (х2;у2;z2), имеют вид (1) Подставив в (1) координаты точек А и В, получим 2. Запишем уравнение плоскости в общем виде Ах+Ву+Сz+D=0. Если плоскость проходит через точку М (х0;у0; z0), то уравнение пучка плоскостей имеет вид Так как искомая плоскость перпендикулярна прямой АВ, то А:В:С=2:1:-2. Заменив коэффициенты А, В, С, в уравнении пучка плоскостей соответственно числами 2, 1, -2 и подставляя координаты точки С (-4;1;-6), получим Определим координаты точки пересечения плоскости (q) с прямой АВ. Для этого решим систему трех уравнений Решая эту систему, находим х=-3, у=3, z=-4. Следовательно, плоскость и прямая пересекаются в точке Р (-3;3;-4). 3. Чтобы найти расстояние от точки С до прямой АВ, достаточно найти расстояние от точки С (-4;1;-6) до пересечения Р(-3;3;-4) (так как прямая перпендикулярна плоскости q). Имеем
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 238. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |