ПРОБНЫЙ ЭКЗАМЕН ЕГЭ-2018                                  МАТЕМАТИКА (ПРОФИЛЬ)

Вариант № 15

Часть 1

 1.Теплоход рассчитан на 1000 пассажиров и 30 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 50 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?

Ответ: 21

25205

21

2.На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости в течение каждого часа 8 декабря 2009 года. По горизонтали указывается номер часа, по вертикали — количество посетителей сайта за данный час. Определите по диаграмме, каким было наибольшее количество посетителей в час с 1:00 до 7:00 в данный день на сайте РИАН.

Ответ: 25000

77255

25000

3.

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 2

248697

2

4.В сборнике билетов по истории всего 60 билетов, в 6 из них встречается вопрос по теме "Смутное время". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанетсявопроса по теме "Смутное время".

Ответ: 0,9

286345

0,9

5.Найдите корень уравнения

Ответ: 4

26651

4

6.

В треугольнике угол равен 90°, , Найдите

Ответ: 5

27238

5

7.

На ри­сун­ке изображен гра­фик функции и от­ме­че­ны точки −1, 1, 2, 4. В какой из этих точек зна­че­ние производной наименьшее? В от­ве­те укажите эту точку.

Ответ: 1

318045

1

8.

Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 2.

Часть 2

Ответ: 36

5061

36

9.Найдите значение выражения

Ответ: 25

88983

25

10.Груз массой 0,16 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняюется по закону где — время с момента начала колебаний, T = 2 с — период колебаний, м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле где m — масса груза в килограммах, v — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 16 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Ответ: 0,18

513939

0,18

11.Первая труба наполняет резервуар на 48 минут дольше, чем вторая. Обе трубы, работая одновременно, наполняют этот же резервуар за 45 минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

Ответ: 72

514184

72

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 28.03.2016. До­сроч­ная волна, ва­ри­ант 3

12.Найдите точку минимума функции

Ответ: 3

245178

3

13.а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Основная волна. Запад. Ва­ри­ант 1.

14.В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите косинус угла между плоскостями BA₁C₁ и BA₁D₁.

15.Решите неравенство:

16.Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АСВ, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 2 и 4. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.

а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.

б) Найдите площадь треугольника АСВ.

Источник: РЕШУ ЕГЭ — Пред­эк­за­ме­на­ци­он­ная ра­бо­та 2014 по математике.

17.В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 3 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.

18.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет хотя бы два решения.

19.Набор состоит из 33 натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4 и 5.

Среднее арифметическое любых 27 чисел этого набора меньше 2.

а) Может ли такой набор содержать ровно 13 единиц?

б) Может ли такой набор содержать менее 13 единиц?

в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 28.