ПРОБНЫЙ ЭКЗАМЕН ЕГЭ-2018                                  МАТЕМАТИКА (ПРОФИЛЬ)

Вариант № 10

Часть 1

1.В летнем лагере 218 детей и 26 воспитателей. Автобус рассчитан не более чем на 45 пассажиров. Какое наименьшее количество автобусов понадобится, чтобы за один раз перевезти всех из лагеря в город?

Ответ: 6

26635

6

2.На рисунке жирным точками показан курс доллара, установленный Центробанком РФ, во все рабочие дни с 22 сентября по 22 октября 2010 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали − цена доллара в рублях. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наибольший курс доллара за указанный период. Ответ дайте в рублях.

Ответ: 31,1

500884

31,1

3.На клетчатой бумаге с размером клетки изображён круг. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 11,25

250975

11,25

4.Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 40 докладов — первые два дня по 9 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвертым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Ответ: 0,275

286031

0,275

5.Найдите корень уравнения:  Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Ответ: 8

12151

8

6.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6.   Найдите высоту этого треугольника.

Ответ: 18

27908

18

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−9; 2). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции f(x) па­рал­лель­на пря­мой y = −x − 12 или сов­па­да­ет с ней.

Ответ: 3

8795

3

8.

В правильной треугольной пирамиде – середина ребра , – вершина. Известно, что =7, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 42. Найдите длину отрезка

Ответ: 4

924

4

9.  Найдите значение выражения при

Ответ: -0,5

26817

-0,5

10.Груз массой 0,6 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по закону где t — время с момента начала колебаний, T = 12 с — период колебаний, м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле где m — масса груза в килограммах, v — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 7 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Ответ: 0,075

513892

0,075

11.Смешали некоторое количество 12-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 18-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Ответ: 15

108669

15

12.Найдите наибольшее значение функции

на отрезке

Ответ: 12

77498

12

13.а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 01.03.2012 ва­ри­ант 2. (Часть С)

14.В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка S — вершина. Точка M — середина ребра SA, точка K — середина ребра SC. Найдите угол между плоскостями BMK и ABC, если AB = 8, SC = 10.

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская работа по ма­те­ма­ти­ке 06.03.2013 ва­ри­ант МА1501.

15.Решите неравенство:  

16.Четырехугольник KLMN описан около окружности и вписан в окружность. Прямые KL и NM пересекаются в точке P. Найдите площадь треугольника KPN, если известно, что ∠KPN = φ и радиусы окружностей, вписанных в треугольники KPN и LMP равны соответственно r и R.

17.При рытье колодца глубиной свыше 10 м за первый метр заплатили 1000 руб., а за каждый следующий на 500 руб. больше, чем за предыдущий. Сверх того за весь колодец дополнительно было уплачено 10 000 руб. Средняя стоимость 1 м оказалась равной 6250 руб. Определите глубину колодца.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 102.

18.Найдите все значения , при каждом из которых наименьшее значение функции

 больше, чем

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 07.12.2011 ва­ри­ант 2. (Часть С)

19.Каждое из чисел a₁, a₂, …, a₄₅₀ равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим

S₁ = a₁+a₂+...+a₄₅₀,

S₂ = a₁²+a₂²+...+a₄₅₀²,

S₃ = a₁³+a₂³+...+a₄₅₀³,

S₄ = a₁⁴+a₂⁴+...+a₄₅₀⁴.

Известно, что S₁ = 739.

а) Найдите S₄, если еще известно, что S₂ = 1779, S₃ = 5611.

б) Может ли S₄ = 6547 ?

в) Пусть S₄ = 6435. Найдите все значения, которые может принимать S₂.