Гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли).

С ечения плоские до и после деформации, они только поворачиваются относительно некоторой линии, которая называется нейтральной осью балки (НО). При этом волокна балки, лежащие с одной стороны от нейтральной оси будут растягиваться, а с другой – сжиматься; волокна, лежащие на нейтральной оси своей длины не изменяют;

2) Гипотеза о постоянстве нормальных напряжений. Напряжения, действующие на одинаковом расстоянии у от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;

3) Гипотеза об отсутствии боковых давлений. Соседние продольные волокна не давят друг на друга.

Связь между внутренними усилиями и нормальными напряжениями в сечении балки найдем из рассмотрения напряжений в элементарной площадке dF, выделенной в поперечном сечении F балки в точке с координатами у и z (ось y для удобства анализа направлена вниз):

, следовательно , поэтому

; (6.10)

, следовательно , поэтому

; (6.11)

, следовательно , поэтому

; (6.12)

Как видим, неизвестен характер распределения нормальных напряжений по сечению. Для решения задачи рассмотрим геометрическую картину деформаций.

Как видим, неизвестен характер распределения нормальных напряжений по сечению. Для решения задачи рассмотрим геометрическую картину деформаций.

Р ассмотрим деформацию элемента балки длинойdx, выделенного из изгибаемого стержня в произвольной точке с координатой x. Учитывая принятую ранее гипотезу плоских сечений, после изгиба сечения балки повернутся относительно нейтральной оси (НО) на угол , при этом волокноab, отстоящее от оси на расстояние у, превратится в дугу окружности a₁b₁, а его длина изменится на некоторую величину.

Здесь напомним, что длина волокон, лежащих на нейтральной оси, не изменяется а потому дуга a₀b₀ (радиус кривизны которой обозначим ), имеет ту же длину, что и отрезокa₀b₀ до деформации: a₀b₀=dx.

Найдем относительную линейную деформацию , волокнаab изогнутой балки: , следовательно

(6.13)

Учитывая, что, в соответствии с гипотезой об отсутствии боковых давлений, запишем закон Гука для изгиба в виде:

(6.14)

Из формулы для относительной линейной деформации с учетом закона Гука получим закон распределения нормальных напряжений по сечению балки:

. (6.15)

Подставляя это выражение в каждое из уравнений равновесия, имеем следующие соотношения:

, следовательно , отсюда

; (6.16)

, следовательно , отсюда

; (6.17)

, следовательно , отсюда

. (6.18)

Из анализа (6.16) и (6.17) следует, что оси у и z являются главными осями сечения, а нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения.

Из (6.18) получим формулу для определения кривизны бруса при изгибе

, (6.19)

Используя это выражение, получим формулу определения нормальных напряжений при изгибе:

.(6.20)

Из анализа полученного уравнения следует, что нормальные напряжения при изгибе равны нулю в точках, лежащих на нейтральной оси, и достигают экстремальных значений на поверхности балки, при .

Максимальные нормальные напряжения при изгибе найдем по формуле:

, (6.21)

где W_z – осевой момент сопротивления

. (6.22)

Таким образом, в случае изгиба условие прочности по нормальным напряжениям может быть записано в следующем виде (для материала балки, одинаково сопротивляющегося растяжению-сжатию):

. (6.23)