Двухосное напряженное состояние. Главные площадки, главные напряжения и наибольшие касательные напряжения

При расчетах стержней наиболее часто приходится иметь дело с двухосным (плоским) напряженным состоянием. Поэтому рассмотрим этот случай более подробно.

При двухосном напряженном состоянии J3 = 0 и характеристическое уравнение принимает вид

s × (s2 - J1 × s + J2) = 0.

Откуда видно, что одно главное напряжение равно нулю, в стержнях это s2, а два других найдем по формуле

s1,3 = 0,5 × .

Поскольку в стержнях sХ = sу = 0, то J1 = sz, а J2 = - t2. Таким образом, получаем

s1,3 = 0,5 × .

Положение второй главной площадки всегда известно. Это одно из продольных сечений стержня. Две других главных площадки будут перпендикулярны ей, а углы между нормалями к этим площадкам и осью Х или У определятся по формулам

tg a 1 = s1/tzх; tg a2 = s3/tzх.

Проведем сопоставительный анализ и синтез полученных выше формул для напряжений σ, σ_α и τ_α. Рассмотрим напряжения в косых сечения m-m при различных значениях углов α их наклона по отношению к нормальному сечению n-n.

1) При α = 0 косое сечение m-m становится нормальным к центральной оси стержня, при этом cos²α = 1, sin2α = 0 и нормальное напряжение становится максимальным (σ_α = max σ_α = σ), а касательное напряжение τ_α = 0. Из этого следует важнейшее общее положение в теории напряженного состояния любого типа: площадки (поперечные сечения конструкции), в которых касательные напряжения равны нулю (τ_α = 0), а нормальные напряжения достигают экстремальных (max или min) значений, называются главными площадками напряженного тела. Экстремальные нормальные напряжения, действующие в главных площадках, называются главными напряжениями. Таким образом, при одноосном центральном растяжении-сжатии стержней главными площадками являются любые нормальные поперечные сечения типа n-n (с α = 0), а главными напряжениями – нормальные напряжения в этих площадках σ.

В более сложных случаях двухосного растяжения-сжатия, рассматриваемого в ортогональной двухосной системе координат получают два главных напряжения: первое главное напряжение, обозначаемое σ₁ и второе главное напряжение, обозначаемое σ₂, причем с учетом алгебраических знаков , а оси 1 и 2, параллельно которым направлены и , взаимно перпендикулярны. При трехосном (объемном) напряженном состоянии получают три главных напряжения: первое главное напряжение, обозначаемое σ₁, второе главное напряжение σ₂ и третье главное напряжение σ₃, причем с учетом алгебраических знаков , а оси 1, 2 и 3, параллельно которым направлены , и , взаимно ортогональны.

2) При α = π/2 = 90^о косое сечение m-m становится продольным сечением стержня; при этом cos²α = 0 и sin2α = 0, а, следовательно, σ_α = 0 и τ_α = 0. Отсюда следует вывод: при одноосном центральном растяжении-сжатии стержней в любых сечениях, параллельных их центральной оси, напряжения отсутствуют.

3) При α = π/4 = 45^о получаем cos²α = 0,707² = 0,5 и sin2α = sin π/2 = 1, при этом σ_α = 0,5σ и τ_α = max τ_α = 0,5σ; таким образом, в площадках (в сечениях), наклоненных под углом α = π/4 = 45^о к главным площадкам возникают максимальные (экстремальные) касательные напряжения, равные по модулю половине величины главного напряжения(это положение является общим для любого типа напряженного состояния).

Плоский поперечный изгиб стержня