Общий случай напряженного состояния в точке. Полное напряжение. Нормальное и касательное напряжение

Рассмотрим тонкую пластинку, находящуюся под действием произвольной системы сил, приложенных к кромкам пластинки и лежащих в ее плоскости. На поверхности пластинки параллельной плоскости xy напряжения отсутствуют ( ). Так как толщина пластинки мала, то можно считать, что напряжений нет и внутри пластинки на площадках параллельных этой поверхности. Поэтому в точках пластинки в общем случае имеет место плоское напряженное состояние.

Вырежем элементарный параллелепипед из пластинок в окрестности произвольной точки сечениями, перпендикулярными плоскости пластинки. Со стороны среды, окружающий параллелепипед, на него действуют в общем случае как нормальные, так и касательные усилия.

На рис. 1 б показаны векторы нормальных и касательных напряжений, соответствующие этим усилиям. Оси координат совмещены с центром элемента точкой К.

Рис. 1 Напряжения на гранях элемента в случае плоского напряженного состояния.

Напряженное состояние малого параллелепипеда является однородным. Это значит, что в любых его параллельных сечениях напряжения можно считать распределенными равномерно, а по величине одинаковыми. Поэтому компоненту элементарной силы на любой площадке получим как произведение напряжения на площадь площадки, например или просто . Будем считать, что напряжения, действующие по граням параллелепипеда: σ_x,σ_y,τ_xy известны (определяются в результате решения плоской задачи теории упругости).

Напряженным состоянием в точке называют совокупность напряжений, действующих по всевозможным площадкам, проведенным через эту точку.

Рассечем тело произвольным сечением Выделим небольшую площадку ∆A. Внутреннее усилие, действующее на нее, обозначим∆R . Полное среднее напряжение на этой площадке р =∆R ∆A . Найдем предел этого отношения при ∆A 0 . Это и будет полным напряжение на данной площадке (точке) тела.

p =lim A 0 A R

Полное напряжение p , как и равнодействующая внутренних сил, приложенных на элементарной площадке, является векторной величиной и может быть разложено на две составляющие: перпендикулярное к рассматриваемой площадке – нормальное напряжение σ_n и касательное к площадке – касательное напряжение n. Здесь n – нормаль к выделенной площадке1.