Консервативные и диссипативные силы

Тема 4

Работа и энергия

Значение энергии

Всякое изменение материи является движением, простейшими формами которого являются поступательное и вращательное движения. Мерой поступательного движения является импульс. Однако эта динамическая характеристика, введенная Ньютоном, хотя и имеет фундаментальное значение, но не может служить универсальной мерой для всех форм движения материи, например, для вращательного, теплового и т. д. Пусть однородный шар

равномерно вращается вокруг неподвижной оси, совпадающей с осью симметрии, проходящей через центр инерции (рис. 1). Поскольку при вращении шара, любые его две диаметрально противоположные материальные точки имеют линейные скорости, равные по величине, но противоположные  по направлению, т. е. vi = vk, . При этом суммарный импульс всего шара равен нулю. Однако тело может вращаться с любой угловой скоростью . Импульс тела ни как не характеризует вращательное движение. В этом случае мерой вращательного движения шара является момент импульса. Известно, что для осуществления равномерного вращательного движения тел вокруг некоторой оси необходимо непрерывно воздействовать внешней силой, которая расходуется на преодоление трения в местах закрепления оси вращения. Однако при трении выделяется тепло, а момент импульса остаётся постоянным и никак не учитывает количество выделившегося тепла. Поскольку физика изучает различные формы движения материи (механические, тепловые, электрические, магнитные и т. д.), то усилия учёных разных стран были направлены на то, чтобы найти универсальную меру, учитывающую любое изменение материи. Единой мерой различных форм движения материи является физическая величина – энергия. В работах Ломоносова, Майера, Гельмгольца, Джоуля и других ученых был окончательно сформулирован всеобщий закон сохранения и превращения материи – закон сохранения энергии, который гласит: энергия не исчезает и не уничтожается, а переходит из одного вида в другой, в равных количествах.Закон сохранения энергии проверен многочисленными экспериментами и его достоверность не вызывает никаких сомнений. Анализ опытных фактов показывает, чтоэнергия механического движения, например, при трении переходит в теплоту. Вообще механическое движение или любое другое не исчезает бесследно, а переходит в другие виды движения материи.

Энергия является количественной мерой любого движения материи, а при движении изменяется состояние системы материальных объектов. Всякая система характеризуется рядом физических величин, называемых параметрами состояния. Например, положение м.т. в пространстве характеризуется координатами и их относительными скоростями. При всяком изменении состояния системы изменяются параметры состояния.

Следовательно, энергия есть функция состояния системы.

Из динамики известно, что всякое изменение механического движения тела всегда происходит в результате его взаимодействия с другими телами. Это взаимодействие количественно характеризуетсясилой.Следовательно, сила является причиной изменения механической энергии.

Мерой энергии, переданной от одного тела к другому, является физическая величина, называемая работой.

Общий вывод:   энергия есть количественная мера любых форм движения материи. Работа – мера количества энергии, переданной при механическом взаимодействии от одного материального объекта к другому или превращение механического движения в другие формы.

Работа постоянной силы

Механическая работа совершается, если тело (м.т.) под действием силы перемещается. Величина работы постоянной силы ( ) равна произведению ее составляющей F_t на направление перемещения и величины этого перемещения (рис. 2):

А= F_t ,   =DS ,     (1)

где F_t = F cos ,.

В векторном виде работа равна скалярному произведению вектора силы и вектора перемещения

,     (2)

где   

                                                          .

Согласно (2) перемещение необязательно вызывается действием силы, входящей в эту формулу. Особенно это проявляется при нахождении работы сил сопротивления и трения, которые никак не способствуют перемещению тела в заданном направлении при  > 0, F_сопр < 0, F_тр < 0.

Следовательно, работа силы совершается независимо от того, под действием каких причин тело совершает перемещение. Работа, как показывает практика, может быть положительной, отрицательной и равной нулю. Для выяснения этого воспользуемся формулой работы А = F s cos.

1. Работа силы положительна (А 0), если угол a между векторами силы и перемещения острый: cos 0 (рис. 3, а).

2. Работа силы отрицательна (А < 0), если угол aтупой: cos a< 0 (рис. 3, б). 3. Работа силы равна нулю (А = 0).

При этом возможны 3 случая: а) F = 0, если на тело не действуют силы, но оно движется равномерно и прямолинейно, б) r = 0, тело не перемещается, несмотря на действие силы (F 0). Пусть на тело действуют какие-то другие силы; в) сила действует перпендикулярно к перемещению: cos = 0, т. е. = /2 (рис. 3, в). Например, сила Кориолиса, сила Лоренца всегда перпендикулярны направлению перемещения.

В СИ работа измеряется в джоулях (Дж).

Работа переменой силы

Для нахождения полной работы на конечном участке пути, когда на движущее тело действует переменная сила, необходимо весь путь разбить на малые участки пути (перемещения) и найти на каждом из них элементарную работу.

Любые элементарные перемещения (малые участки пути Dsi) можно считать прямолинейными, в пределах их действующая сила остается постоянной, т. е.

 Fi = const. На элементарном участке пути si совершается элементарная работа:

 DАi = F Dsi cos ai.

Работа на конечном участке пути

.

Для нахождения полной работы на всём участке пути перейдем к пределу, когда . Тогда             

                                                             (3)

или при бесконечно малом перемещении  м. т. под действием силы совершает бесконечно малую работу (рис. 4, ds=dl):         

                                                .         (4)

Поскольку работа не является функцией состояния системы, то она не может быть представлена в виде полного дифференциала, поэтому, вместo dA, будем использовать символ А. Полная работа на участке 1 – 2 

                                                 .                              (5)

Если на тело одновременно действуют несколько сил: , то полная работа равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой силой в отдельности:

A = A₁ + A₂ +...+ A_n = . (6)

Работу можно найти графически (рис. 5), где она может быть представлена площадью криволинейной трапеции. В случае прямолинейного движения тела (в прямоугольных декартовых координатах), учитывая, что

где  – единичные векторы осей Х, У, Z соответственно, формулу (6) можно представить в виде

=

           = F×dx×cosa + F×dy×cosb + F×dz×cosg = F_x×dx + F_y×dy + F_z×dz,

где a, b, g – углы, которые вектор силы составляет с векторами ;

F_x = F×cosa; F_y = F×cosb; F_z = F× cosg – проекции  на оси координат.

Мощность.

Коэффициент полезного действия в механике

На практике важно знать, как быстро машина или механизм совершают работу.

 Быстрота совершения работы характеризуется мощностью.

Cредняя мощность численно равна отношению работы к промежутку времени, за который совершается работа.

                                                 <N> = A/t.                                (6)

Если t 0, то, перейдя к пределу, получим мгновенную мощность:

                                                                          (7)

или                             

                                    .                  (8)

                                    ,               (9)

или   

N = F×v×cosa.

   В СИ мощность измеряется в ваттах (Bт).

На практике важно знать производительность механизмов и машин или другой промышленной и сельскохозяйственной техники.

Для этого используют коэффициент полезного действия (КПД) h.

Кинетическая энергия

Энергию, которой обладают движущиеся тела, называют кинетической энергией (W_k).

Найдем полную работу силы при перемещении м. т. (тела) на участке пути 1– 2. Под действием силы м. т. может изменять свою скорость, например, увеличивает (уменьшает) от v₁ до v₂.

Уравнение движения м. т. запишем в виде

Потенциальная энергия

Другим видом механической энергии является потенциальная энергия.

Энергию взаимного расположения тел, учитывающую вид их взаимодействия, называют потенциальной энергией.

Найдем работу силы тяжести, которую она совершает при равномерном движении тела без трения из положения 1 в 2 вдоль наклонной плоскости. Длина наклонной плоскости – S.

Высота от нулевого уровня до точки 1 равна h₁, до точки 2 – h₂. Угол между вертикалью (отвесной линией) и наклонной плоскостью равен a (рис. 7 ).

 Работа на участке S₁₂

                                  A₁₂ = mg cos a× S,

где mgcos a – проекция силы тяжести на направление перемещения, 

            S cos a =h₁ – h₂, 

 или  

                                                               A₁₂  = mg h₁ – mg h₂.

 Величину W_P = mgh – называют потенциальной энергией, которой обладает тело массой m, поднятое над поверхностью Земли. 

В этом случае работа силы тяжести запишется в виде  

                                                    A₁₂ = W_P1 – W_P2,

где W_P1 – потенциальная энергия тела в состоянии 1; W_P2  – потенциальная энергия тела в состоянии 2.

   Окончательно, A₁₂ = - (W_P2 - W_P1) = - DW_P.                          (14)

Вывод: Работа силы тяжести равна убыли потенциальной энергии со знаком минус.

Консервативные и диссипативные силы

Вычислим работу силы тяжести на замкнутой траектории (1-2- -3-1). Для этого вернемся к рис. 7.

Полную работу на замкнутой траектории (1-2-3-1) представим как сумму работ на отдельных участках пути: 

А = А₁₂ + А₂₃ + А₃₁.

1. Работу силы тяжести на участке 1 - 2 (А₁₂) мы уже нашли (см. выше):

A₁₂ = mg cos a× S.

2. Работа силы тяжести на участке (2 - 3) равна нулю, так как угол между на правлением перемещения и направлением действия силы тяжести равен 90^о,

т. е. А₂₃ = 0 (рис. 8). 3. Работа силы тяжести на участке (3 - 1) (рис. 9)

              A₃₁ = - mgh,

где h = h₁ - h₂ = S cosa, так как угол между направлением перемещения и направлением действия силы тяжести равен 180⁰.

Вывод: Полная работа силы тяжести на замкнутом пути равна нулю.

Этот вывод может быть распространен на случай любой замкнутой траектории произвольной формы.

Силы, работа которых на замкнутом пути равна нулю, называют консервативными, или потенциальными.

Кроме того, работа консервативных сил не зависит от вида траектории перемещения тела, а зависит только от координат его начального и конечного перемещений. Примерами таких сил, кроме силы тяжести, являются силы упругости и силы электромагнитного взаимодействия. Все силы, не относящиеся к консервативным, являются не потенциальными (неконсервативными). К ним относятся диссипативные силы, например, силы трения и сопротивления.

Диссипативными называют силы, работа которых отрицательна.

К неконсервативным силам относятся также гироскопические силы Лоренца и Кориолиса. От консервативных сил они отличаются тем, что определяются не только положением, но и скоростью движения тел. Работа таких сил равна нулю.

Потенциальная энергия

гравитационного взаимодействия

На рис. 10 приведен график зависимости силы тяготения от расстояния между взаимодействующими телами F(r).

Чтобы найти работу силы тяготения при перемещении тела массы m в гравитационном поле другого тела массы М на расстоянии (r₂ - r₁), используем формулу работы в виде  

                                                    А = F_т (r₂ - r₁).                          (15)

Работа силы тяготения (консервативная сила) не зависит от формы траектории при перемещении тела, на которое она действует, а определяется координатами начального и конечного состояний тела.

Поэтому для нахождения работы А₁₂ достаточно найти среднюю силу тяготения на участке (r₂ -r₁), рис. 11.

 Действительно, 

    А₁₂ = < F > (r₁ - r₂) = - < F > (r₂ - r₁),

где               < F > = ,    

или   

              .         (16)

После раскрытия скобок      

         ,    (17)

где 

                  (18)

- потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тел;

С - произвольная постоянная.

Следовательно,   А₁₂ = - (W_р2 - W_р1) = - DW_p ,                      (19)

где W_р1 , W_р2 - потенциальные энергии взаимодействия тел m и М в состояниях 1 и 2, соответственно.

Вывод: Работа гравитационного взаимодействия тел равна изменению потенциальной энергии со знаком минус.

Кроме напряженности Е _т, гравитационное поле характеризуется потенциалом поля тяготения j_т, т. е.     

                                                    j _т = ,

 где          

                                                    W_p = + C.                                     

Следовательно, потенциал поля тяготения

                                                j _т =  + C                            (20)

является энергетической характеристикой поля тяготения.

Если потенциалы некоторых точек 1 и 2 поля тяготения j _т1, j _т2, то работа силы тяготения при движении тела массы m из 1 в 2

                                       А₁₂ = - m (j _т2 - j _т1) = - m Dj _т.          (21)

Замечание:

В физике существует проблема энергии поля тяготения.

Теория позволяет для любого тела, имеющего массу, вычислить полную энергию его гравитационного поля во всем пространстве.

 Но нельзя указать, в какой области пространства локализована эта энергия, т. е. нет понятия плотности гравитационной энергии в различных точках пространства.

Гравитационная энергия во Вселенной имеет большой количественный перевес над всеми остальными формами энергии.

Поток излучения от бесчисленных звезд Вселенной (ядер галактик, квазаров и т. д.) составляет лишь малую долю от гравитационной энергии.

Тяготение вообще - исток, из которого берут основу и все остальные формы энергии материального мира Вселенной.

При взрывах сверхновых звезд (например, СН 1987А, голубой сверхгигант соседней галактики «Большое Магелланово Облако», взорвалась 23 февраля 1987 года) гравитационное поле превращает часть освободившейся энергии тяготения в другие виды энергии: световую, тепловую, энергию вращательного движения, энергию синтеза тяжелых ядер изотопов химических элементов тяжелее железа и пр.

Гравитация является высшей формой энергии, т.к. имеет нулевую энтропию, а низшая форма энергии - тепловая, поскольку в теплоту могут превращаться все остальные виды энергий.

Противостоят гравитации только энергия реакции деления тяжелых ядер, энергия термоядерных реакций синтеза легких ядер и вращательные движения.

9. Потенциальная энергия

упругодеформированного тела

Найдем потенциальную энергию тела при перемещении его из состояния 1 в 2, если на него действует сила упругости пружины, один конец которой закреплен с телом, а другой - с неподвижной опорой (рис. 12).

Работу силы упругости можно найти по формуле 

                                      (22)

если сила упругости действует вдоль оси 0Х, где F(x) = - k x; х - cмещение.

После интегрирования получим

.          (23)

Сила упругости, так же как и сила тяжести, является консервативной, ее работа совершается за счет убыли потенциальной энергии пружины, т. е.    

А_у = - DW_p,у = - (W_p,у2 - W_p,у1),      (24)

где           W_p,у =                              (25)

является потенциальной энергией упругодеформированной пружины (тела). Работа силы упругости графически изображается площадью заштрихованной трапеции (рис. 13).

   10. Связь силы с потенциальной энергией

Если известно выражение потенциальной энергии W_p(x, y, z), то можно найти силу, действующую на тело в любой точке силового поля.

Пусть тело (частица) или м. т. перемещается в пространстве.

 Силы поля совершают над частицей элементарную работу     

или                                  

                         . 

    Следовательно,         dA = F_x dx + F_y dy + F_z dz,  

                        dА_х = F_xdx, dА_y = F_ydy, dА_z = F_zdz.

С другой стороны,                     dA = - dW_p .

Поскольку потенциальная энергия является полным дифференциалом, то

                             ,

где    

- частные производные от W_p по х, у, z, cоответственно вычисляемые в предположении, что все другие аргументы, кроме рассматриваемых, являются фиксированными.

Анализируя рассмотренное выше, получаем

             F_x dx + F_y dy + F_z dz = .

Таким образом,    

или                                  

                                     ,

где выражение     

- векторный оператор Гамильтона в декартовых координатах.

(Символ «Ñ» - называют набла).

Таким образом,                      .               (26)

Выражение gradW_p или (dW_p/dn) называют градиентом потенциальной энергии по направлению dn (наибольшая быстрота изменения потенциальной энергии по данному направлению).

Знак «-» показывает, что вектор силы, действующий на частицу, направлен в сторону убывания потенциальной энергии.