Теория множеств: объединение, пересечение.

Единицей понятия в алг множеств является множество. Пусть зафиксировано дост большое мн А. Множество всех множеств наз-ют универсальным множеством. Обозначают U или 1. Говорят, что мн А задано, если относительно любого элемента х из U можно сказать х принадлежит А или х не принадлежит А. Таким образом с каждым множ А связан одноместный предикат определенный на множ.

Р_А(х)=”х€А”

Очевидно, что Р_U(х)=”х€U” =1

Множ, не содержащее ни одного элемента наз-ют пустым множеством. Обозначается ø. Р_ø(х)=0.

Два множ А и В наз равными если они состоят из равного числа одинаковых элементов Р_А(х)=Р_В(х)

Булевы операции над множествами:

Объединениеммн-в А и В назмнож, состоящее из всех элементов мн А и всех элементов мн В Р_АUB= Р_А(х)U Р_В(х)

Пересечением множеств А и В назмнож, содерж-ее только те элементы, которые присутствуют и в А и в В одновременно. Р_АПВ(х)=Р_А(х) п Р_В(х)

Пример1 Даны мн-ва А, В, С-конечнчисл-ыемн-ва. Определить операции над мн-ми:

А={1,2,3,4,7,9,0}

B={0,1,2,3}

C={7,9}

AUBUC={0,1,2,3,4,7,9}

AПB={0,1,2,3}

Пример2Доказать, что мн А={x/x дел-ся на 6, х€Z}=B={x/x дел-ся на 2 и дел-ся на 3, x€R}.

Пусть х€А, тогда “х дел-ся на 6” =>”x=6*k”, k€Z=>”x=2*3*k, k€Z”=>”x:2 и x:3, x€Z”=>x€B

Теория множеств: дополнение, разность.

Единицей понятия в алг множеств является множество. Пусть зафиксировано дост большое мн А. Множество всех множеств наз-ют универсальным множеством. Обозначают U или 1. Говорят, что мн А задано, если относительно любого элемента х из U можно сказать х принадлежит А или х не принадлежит А. Таким образом с каждым множ А связан одноместный предикат определенный на множ.

Р_А(х)=”х€А”

Очевидно, что Р_U(х)=”х€U” =1

Множ, не содержащее ни одного элемента наз-ют пустым множеством. Обозначается ø. Р_ø(х)=0.

Два множ А и В наз равными если они состоят из равного числа одинаковых элементов Р_А(х)=Р_В(х)

Булевы операции над множествами:

Дополнением ко мн А назмнож, содержащее элементы универсального множ, не входящие во множ А. Р_А^—(х)=--(Р_А(х))

Разностью множеств А и В назмнож, состоящее из элементов мн А, не входящих во мн В. Р_А\В(х)=В_АПВ^—(х)

Симметричной разностью множеств А и В назмнож., содержащее элементы мн А и элементы мн В, не входящие в пересечение этих множеств(А∆В) Р _А∆В (х)= Р_А\В(х) UР_В\А(х)

Пример 1

.Даны мн-ва А, В, С-конечнчисл-ыемн-ва. Определить операции над мн-ми:

А={1,2,3,4,7,9,0}B={0,1,2,3}C={7,9}

A\B={4,7,9}AП(B\C)={0,1,2,3}

Пример2Доказать, что мн А={x/x дел-ся на 6, х€Z}=B={x/x дел-ся на 2 и дел-ся на 3, x€R}.

Пусть х€А, тогда “х дел-ся на 6” =>”x=6*k”, k€Z=>”x=2*3*k, k€Z”=>”x:2 и x:3, x€Z”=>x€B

19

Термин "множество" употребляется как синоним понятий совокупность, собрание, коллекция некоторых элементов. Так, можно говорить о:

а) множестве пчёл в улье,

б) множестве точек отрезка,

в) множестве вершин квадрата или о множествах его сторон и диагоналей,

г) множестве студентов в аудитории и т.д.

В приведённых примерах в случаях а), в)-г) соответствующие множества состоят из определённого конечного числа предметов, такие множества называются конечными. Множество точек отрезка (пример б)) пересчитать невозможно, поэтому такие множества называются бесконечными. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством.

ниверса́льноемно́жество — в математике множество, содержащее все мыслимые объекты. Универсальное множество единственно.

Универсальное множество обычно обозначается U

Свойства универсального множества

Любой объект, какова бы ни была его природа, является элементом универсального множества.

В частности, само универсальное множество содержит себя в качестве одного из многих элементов.

Любое множество является подмножеством универсального множества.

В частности, само универсальное множество является своим подмножеством.

Объединение универсального множества с любым множеством равно универсальному множеству.

В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.

Пересечение универсального множества с любым множеством равно последнему множеству.

В частности, пересечение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.

Исключение универсального множества из любого множества равно пустому множеству.

В частности, исключение универсального множества из себя равно пустому множеству.

Исключение любого множества из универсального множества равно дополнению этого множества.

Дополнение универсального множества есть пустое множество.

Симметрическая разность универсального множества с любым множеством равна дополнению последнего множества.

В частности, симметрическая разность универсального множества с самим собой равна пустому множеству.

Множества обычно обозначаются большими буквами А, В, С,…., а их элементы - малыми: а, в, с,… Запись а ∈ А (читается: а принадлежит А) или A ∋ a (читается: А содержит а) означает, что а есть элемент множества А. Пустое множество обозначается значком Ø.

Если каждый элемент множества В является также элементом множества А, множество В называется подмножеством множества А (обозначение - B ⊆ A или A ⊇ B).

Два множества А и В называются равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А

Говорят, что множество А содержится в множестве В ( рис.1 ) или множество А является подмножеством множества В ( в этом случае пишут А В ), если каждый элемент множества А одновременно является элементом множества В . Эта зависимость между множествами называется включением. Для любого множества А имеют место включения: А и А А .

Сумма ( объединение ) множеств А и В ( пишется А В ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит либо А , либо В. Таким образом, е А В тогда и только тогда, когда либо е А , либо е В .  

 Произведение ( пересечение ) множеств А и В ( пишется А В , рис.2 ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит и А , и В . Таким образом, е А В тогда и только тогда, когда е А и е В .

Разность множеств А и В ( пишется А – В , рис.3 ) есть множество элементов, которые принадлежат множеству А , но не принадлежат множеству В. Это множество называется также дополнением множества В относительно множества А.

Симметричная разность множеств А и В ( пишется А \ В ) есть множество:А \ В = ( А – В ) ( В – А ).

 Свойства операций над множествами:

П р и м е р ы. 1. Множество детей является подмножеством всего населения.

2. Пересечением множества целых чисел с множеством положительных чисел является множество натуральных чисел.

3. Объединением множества рациональных чисел с множеством иррациональных чисел является множество действительных чисел

4. Нуль является дополнением множества натуральных чисел

относительно множества неотрицательных целых чисел.