Метод Жордана-Гаусса (обращения матриц).

Пусть имеется система линейных алгебраических уравнений:

A^.X = B

Если эту систему уравнений умножить слева на обратную матрицу:

A^-1A ^. X = A^-1 B то, учитывая, что A^-1 А = Е (единичная матрица), получим:

 X = A^-1 B                                                            (3.8)

Таким образом, для того чтобы решить систему уравнений, необходимо одним из методов вычислить обратную матрицу и умножить ее на вектор правых частей системы.

Этот метод удобен в тех случаях, когда система уравнений решается при различных правых частях. Тогда необходимо один раз вычислить обратную матрицу, а затем, меняя правые части, вычислять произведение этой матрицы на столбец.

 Итерационные методы.  

Запишем систему (3.5) в виде:

     x₁ = (b₁       - x₂a₁₂ - x₃a₁₃)/a₁₁

     x₂ = (b₂ - x₁a₂₁             - x₃a₂₃)/a₂₂                                                    (3.9)

     x₃ = (b₃ - x₁a₃₁ - x₂a₃₂           )/a₃₃

или в матричном виде: X = b+ aX, где

      x₁                   b₁                    0 a₁₂ a₁₃

X = x₂ ;  b = b₂ ; a = - a₂₁   0   a₂₃ ;   (3.10)

      x₃                    b₃                  a₃₁ a₃₂ 0

Если для системы (3.9) будет выполнено хотя бы одно из условий: ║ ║₁ = max  или ║ ║₂ = max   или    

║ ║₃ =   ( |α ² _ij |) ^½ < 1                                   (3.11)

то итерационный процесс, задаваемый формулой:

x^(k+1) = b+ a x ^(k)                                                                                                 (3.12)

сходится к единственному решению, независимо от начального приближения.

Таким образом, для того чтобы решить систему линейных уравнений (3.9), необходимо задаться некоторым начальным приближением х⁰, равным, например, вектору правых частей системы и вычислить значения х⁽¹⁾ по формуле (3.12). Если при этом │x⁽⁰⁾ - x ⁽¹⁾ │ ≤ ε (ε - точность вычислений), то значение х⁽¹⁾ можно принять за решение. В противном случае х⁽¹⁾ используется в правой части уравнения (3.12), и вычисляется значение х⁽²⁾ и т.д. 

Если систему уравнений (3.5) представить в виде:

X = b+ a₁X + a₂X где

     x₁                    b₁                   0 0 0

X = x₂ ;  b = b₂ ; a₁ = - a₂₁   0    0    ;   

      x₃                     b₃                 a₃₁ a₃₂ 0