Методы численного интегрирования

Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении значения определенного интеграла по ряду значений подынтегральной функции, т.е. в составлении интегральной суммы. Чем меньше интервалы разбиения (больше узловых точек, т.е. точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции), тем точнее будет вычислен интеграл. Для функции, заданной таблично, число узловых точек фиксировано, и задача вычисления интеграла обычно сводится к замене этой функции на рассматриваемом отрезке интерполирующей функцией простого вида, интеграл от которой вычисляется непосредственно. Для аналитически заданных функций возможны два способа выбора точек разбиения исходного интервала: либо число точек или интервалов фиксируется заранее, либо число и величины интервалов определяются в процессе вычисления интеграла в зависимости от заданной точности.

В обоих случаях исходная функция на каждом интервале заменяется соответствующей зависимостью.

1. Метод прямоугольников основан непосредственно на определении интеграла

            (2.1)

где   - интегральная сумма, соответствующая данному разбиению: x₁, x₂,..., x_n - некоторые точки на интервалах разбиения, в которых вычисляются значения функции. Чаще всего отрезок [a,b] делится на равные части и в качестве узловых точек выбираются границы интервалов разбиения. В этом случае формулы метода прямоугольников имеет вид:

 @  [f(x₀)+ f(x₁)+ ... + f(x_n-1)]   (2.2)

или

 @  [f(x₁)+ f(x₂)+ ... + f(x_n)]      (2.3)

2. Метод трапеций основан на том, что график подынтегральной функции на каждом интервале разбиения заменяется стягивающей ее хордой, и площадь ограниченная функцией на интервале, заменяется площадью трапеции. В этом случае при равных интервалах формула метода трапеций имеет вид: 

@  [f(a)/2+ f(x₁)+ ... + f(x_n-1)+f(b)/2]     (2.4)

Здесь:  = h - шаг интегрирования.

3. Метод Симпсона основан на том, что через три ординаты двух соседних интервалов проводится парабола и получающиеся при этом площади складываются. В отличии от предыдущих методов здесь отрезок [a,b] следует делить на четное число интервалов (например, на 2n).

Формула метода Симпсона при этом будет иметь вид:

@ [f(a)+4f(x₁)+2f(x₂)+...+4f(x_2n-1)+2f(x_2n-2)+...+f(b)] (2.5)

4. Метод Чебышева состоит в том, что интеграл представляется в виде:

@  [f(X₁)+ f (X₂)+ ... + f (X_n)]                          (2.6)

где X_i=(a+b)/2+t_i(b-a)/2–абциссы t_i приведены в табл.1, n - число узловых точек.

При этом вывод t_i определяется из условия, что формула 2.6 справедлива для всех полиномов f(X_i) до степени m включительно; m=2n-1 на интервале от –1 до +1. Подставляя в уравнение (2.6) функции: f(t_i) = t¹,t², ..., t^m-1,t^m , и зная точное значение интеграла на интервале [-1¸+1] получим систему нелинейных алгебраических уравнений, в результате решения которой определяются значения t_i. Для числа узловых точек n=2,3,4,5,6,7,9 значения t_i приведены в таблице 1. Для n=8 и n>9 формула Чебышева неприменима.

Таблица № 1.

5. Метод Гаусса основан на том, что в формуле:

                                            (2.7)

где X_i=a+(b-a)t_i. Коэффициенты A_i и абциссы t_i выводятся для интервала от –1 до +1 и приведены в табл. 2.

На интервале от –1 до +1, выбор абсцисс t₁, t₂, ..., t_i и коэффициентов А₁,А₂, ... А_i производится таким образом, чтобы формула 2.7 была точной для всех полиномов f(X_i) с наивысшей возможной степенью m. В этом случае коэффициенты А_i и положение узловых точек t_i определяются решением системы уравнений, которая получается при подстановке f(t_i)=1,t,t²,t³,...t^m в левую и правую части формулы (2.7), где: n - число узловых точек, m=2n-1.

Следует отметить, что абсциссы t_i являются корнями полиномов Лежандра.

Таблица № 2.

Так как точность методов численного интегрирования в значительной степени определяется величиной шага интегрирования. Для методов прямоугольников, трапеций, Симпсона изменение шага интегрирования не приводит к изменению формулы, точнее алгоритма вычислений. По этому интегрирование с переменным шагом заключается в том, что интеграл вычисляется многократно при различном числе точек разбиения исходного интервала, т.е., при различной величине шага, и каждый раз сравниваются две последующие интегральные суммы. Если разность между ними по модулю не превосходит заданной погрешности, то вычисления прекращаются, в противном случае производится дальнейшее изменение величины шага интегрирования, и расчеты повторяются. В простейшем случае изменение величины шага интегрирования производится путем последовательного увеличения числа узловых точек на определенное число (например, на единицу).

Лабораторная работа № 3.