Методы численного интегрирования.

Задание. Составить программу для вычисления определенного интеграла:                           I =

и вычислить его на отрезке [a,b] с заданной относительной точностью eps=0.01. Интеграл вычисляется двумя методами: студенты с четными вариантами используют метод прямоугольников, а с нечетными метод трапеций и вторым методом, соответствующим остатку от деления номера варианта студента на 3 по следующей схеме: остаток: (1, 2, 0); методы соответственно: (Симпсона, Чебышева, Гаусса). Подынтегральная функция, а следовательно и № задачи, также соответствуют остатку от деления номера варианта студента на 4 по аналогичной схеме: остаток (1,2,3,0); № задачи соответственно: (1,2,3,4).  

Задача № 1. В реакторе смешения, обогреваемом насыщенным водяным паром с t_n =110+Y[1] [^oС]^*, протекает реакция с тепловым эффектом Q_p = –0.1*N_var [кДж/кг]. Определить время, необходимое для нагрева содержимого реактора в количестве G =10*N_var[кг] отt₁=15[^oС] до t₂=85+0.1*N_var [^oС], если поверхность теплообмена F= 0.5*N_var [м²], коэффициент теплопередачи К=4500/(N^*_gr-20)[Дж/м²час^oС], c_{p -} удельная теплоемкость жидкости c_p=3.8 [кДж/кг ^oС].

Замечание. Уравнение теплопередачи для нестационарных условий запишется:     G c_p dt = K F (t_n - t) dt +G Q_p dt

Отсюда легко получить t в виде определенного интеграла.

Задача№2.Определить поверхность (F) противоточного теплообменника для нагревания минерального масла от t₁=25[^oС]^* до t₂=100+0.1*N_var[^oС]^* теплоносителем с начальной температурой t_n^o=130 [^oС]. Расход масла G₁=550*N_var [кг/ч], теплоносителя G₂ = 600* N_varкг/ч, удельная теплоемкость соответственно с_p1 = 1.6 [кДж/кг^oС], с_p2=1.8 кДж/кг^oС. Зависимость коэффициента теплоотдачи от температуры представлена выражениями: a₁ = 160.0 +N_var * 1.05 t , a₂=195.0 +N_var * 0.95 t, теплопроводность стенки l = 2500 [Вт/м^оС], ее толщина δ=2.5 мм, тепловым сопротивлением загрязнений и потерями тепла в окружающую среду можно пренебречь.

Замечание. Из уравнения теплопередачи G₁ с₁ dt = K(t_n - t)dF

получаем F в виде определенного интеграла. K- коэффициент теплопередачи, вычисляется по формуле: K=1/(1/a₁+δ/l +1/a₂).

Текущая температура теплоносителя определяется по формуле:

t_n = t_n^o - 0.01*t [^оC]

Задача № 3. В перегонном кубе содержащем L_n = 10* N_var [кмоль] смеси двух компонентов, в равной мольной пропорции (x_n=0.5), подвергают простой перегонке и получают L_k кубового продукта, равного 5*(N_var+1) [кмоль].

Определить конечные составы кубового продукта (x_k - концентрация легколетучего компонента в кубе) и дистиллята, если коэффициент относительной летучести легколетучего компонента a=0.22*N_var +1

Замечание. Состав продуктов, получаемых при простой перегонке бинарной смеси, с некоторыми допущениями можно определить, используя формулы:

ln  = ;                    y=

где х - текущая концентрация легколетучего компонента в в жидкой фазе в некоторый момент времени во время перегонки.

y - равновесная концентрация легколетучего компонента в паровой фазе в некоторый момент времени во время перегонки при допущении, что пар ведет себя как идеальный газ.

Задача № 4. В выпарной аппарат периодического действия, имеющего поверхность теплообмена F = N_var, заливают G=10*N_var [кг] слабого водного раствора соли с начальной концентрацией x_o=5 [масс %] при температуре кипения. Раствор выпаривается под некоторым разрежением (вакуумом) до x_k=50 [масс %]. Зависимость температуры кипения раствора в этих условиях от его концентрации определяется формулой: t_b=80+x/2[^oС] (х задан в [масс %] и зависимость коэффициента теплопередачи от концентрации раствора определяется формулой: К = 500*N_var – 10^-4*x² [Дж/м²час^oС] (размерность х в [масс%]. Обогрев ведется насыщенным водяным паром с постоянной температурой конденсации: t_n=120 [^oС]. Теплота парообразования воды в зависимости от температуры в градусах Цельсия вычисляется по формуле: H(t)=2560 - t [кДж/кг] (t в [^oС]). Определить расход греющего пара и продолжительность процесса выпаривания. Потерями тепла в окружающую среду можно пренебречь.

Замечание. Уравнение теплопередачи для бесконечно малого отрезка времени dtв нестационарных условий кипения, при допущении эквимолярного массообмена, следующее:

dQ = K F (t_n - t_b) dt

В этих условиях концентрация раствора х, его температура кипения t_b, и коэффициент теплопередачи K непрерывно изменяются. Из этого уравнения легко получить t,проинтегрировав уравнение в пределах от 0 до Q, последнее является количеством тепла которое необходимо для испарения воды из раствора. С указанными выше допущениями количество выпариваемой воды

G_water =G*(x_k - x_o)/ x_k .

Количество тепла Q = G_water*H. Обратите внимание на то, что H не является константой.