Распределение Ферми – Дирака. Фермионы

При абсолютном нуле температуры в каждом состоянии с энергией E ≤ E_F(0) находится один электрон, в состояниях с E > E_F(0) электронов нет. Для характеристики вероятности заполнения электронами различных состояний приТ ≠ 0 введем функцию распределения электронов по состояниям

(12)

где dN – число электронов, находящихся в интервале состояний от v до v + dv; dv – число состояний с энергией, заключенной в интервале отЕдо Е + dE. Число состояний dv = g(E)dE, где g(E) называется плотностью состояний и равно числу состояний, приходящихся на единичный интервал энергии. Для плотности состояний g(E) должно выполняться очевидное условие

(13)

которое представляет собой по существу условие нормировки функции f(E).

Из определения f(E) следует, что она представляет вероятность того, что состояние с энергиейЕ занято электроном.

При абсолютном нуле температуры эта функция имеет вид: f(E) = 1 приЕ≤ Е_F(0) и f(E) = 0 при Е > Е_F(0) (рис. 5.3).

При повышении температуры функция f(E) деформируется – электроны вблизи Е_F(0) начинают занимать более высокие уровни энергии, внутренние же электроны не могут изменять состояние (рис. 5.4).

Определение вида функции распределения достаточно громоздко, поэтому его здесь приводим уже в законченном виде

(14)

где f(E) – функция распределения Ферми – Дирака, μ – химический потенциал. Последний обозначают как Е_F(T) и называют просто уровень Ферми. ПриТ = 0 Е_F → Е_F(0). Учитывая новое обозначение уравнение (14) можно записать в виде

(15)

Частицы, подчиняющиеся распределению Ферми-Дирака, называются фермионы (электроны, нейтрино, нуклоны и т.д.). Это частицы с полуцелым спином. Для фермионов характерно то, что они никогда не занимают состояние, в котором уже что-то есть. Говорят, что фермионы не накапливаются в одном состоянии. Функции распределения Ферми – Дирака можно придать еще один смысл: это среднее число электронов, находящихся в состоянии с энергией Е. При Е = Е_Fфункция f(E) = 1/2, т.е. уровень Ферми – это уровень энергии, вероятность заполнения которого равна 1/2.

При больших значениях энергии, когдаЕ – Е_F>>kT, экспонента в (15) много больше единицы, и тогда распределение Ферми – Дирака переходит в классическое распределение Больцмана:

(16)

Поведение электронного газа существенно зависит от соотношения между температурой тела и температурой Ферми, равной Различают два предельных случая:

1. kT<< E_F. В этом случае газ электронов называется вырожденным.

2. kT>> E_F. Такой газ называется невырожденным.

В металлах температура Ферми составляет величину порядка 10⁴ K. Поэтому даже при температурах близких к плавлению электронный газ является вырожденным. В полупроводниках плотность свободных электронов гораздо ниже, чем в металлах, соответственно ниже значение температуры Ферми. Поэтому уже при комнатных температурах электронный газ во многих полупроводниках является невырожденным и подчиняется распределению Больцмана.

Элементы зонной теории твердого тела и ее основные положения. Разрешенные и запрещенные зоны. Валентная зона и зона проводимости. Энергия активации. Металлы, полупроводники, диэлектрики. Электропроводность собственных полупроводников и металлов, ее зависимость от температуры.

Зонная теория является основой современных представлений о механизмах различных физических явлений, происходящих в твердом кристаллическом веществе при воздействии на него электромагнитного поля. Зонная теория твердого тела – это теория валентных электронов, движущихся в периодическом потенциальном поле, кристаллической решетки.

Как отмечалось, отдельные атомы имеют дискретный энергетический спектр, т. е. электроны могут занимать лишь вполне определенные энергетические уровни.

Часть этих уровней заполнена при нормальном, невозбужденном состоянии атома, на других уровнях электроны могут находиться только тогда, когда атом подвергнется внешнему энергетическому воздействию, т. е. когда он возбужден. Стремясь к устойчивому состоянию, атом излучает избыток энергии в момент перехода электронов с возбужденных уровней на уровни, на которых его энергия минимальна.

При конденсации газа в жидкость или в твердое тело расстояния между атомами резко сокращаются, и электроны соседних атомов начинают взаимодействовать друг с другом. В соответствии с принципом Паули, на каждом энергетическом уровне может находиться не более двух электронов, причем спиновые магнитные моменты этих атомов должны быть противоположно направленными. Поэтому энергетические уровни расщепляются на подуровни и образуют энергетические зоны. Разница в энергии соседних подуровней составляет примерно 10^-22 электрон-вольт. Отметим, что средняя энергия тепловых колебаний атомов вкристаллической решетки при комнатной температуре примерно 0,03 электрон-вольт. Следовательно, энергетические зоны являются практически сплошными.

Очевидно, что расщепление происходит как энергетических уровней, заполненных электронами, так и свободных энергетических уровней. В ходе расщепления отдельных энергетических уровней некоторые энергетические зоны могут перекрываться. При перекрытии заполненных и свободных энергетических зон электрон может менять свою кинетическую энергию, а следовательно, может двигаться. В том случае, когда заполненная и свободная энергетическая зоны не перекрываются, электроны не могут менять кинетическую энергию и не могут перемещаться. В последнем случае между свободной энергетической зоной и заполненной энергетической зоной появляется зона запрещенных значений энергии.

При перекрытии свободной энергетической зоны с заполненной зоёной мы имеем дело с проводниками. В случае, когда зона запрещенных значений энергии велика (более 5 электрон-вольт) и электрон не может преодолеть ее за счет термического возбуждения, речь идет о диэлектриках. Наконец, в том случае, когда зона запрещенных значений энергии невелика, то материал является полупроводником

Валентные орбитали атомов в кристаллической решетке смешиваются, образуя два набора энергетических уровней-валентную зону и зону проводимости. Валентная зона расположена ниже по энергии. Электроны в частично заполненной зоне проводимости могут легко перемещаться по всему кристаллу.

Металлы. В металлах валентная зона заполнена электронами, а зона проводимости заполнена электронами лишь частично. Между двумя зонами нет зазора.

Полупроводники. В полупроводниках валентная зона заполнена, а зона проводимости пустая. Между двумя зонами имеется небольшой зазор, так называемая энергетическая щель

Изоляторы (диэлектрики). В изоляторах (диэлектриках) валентная зона заполнена, а зона проводимости, как и в полупроводниках, пустая. Однако энергетическая щель между этими зонами настолько велика, что препятствует переходу электронов из валентной зоны в зону проводимости. Ее иногда называют «запрещенной» энергетической зоной.

Энергия активации – это та сила, которая нужна для перехода обычных молекул в такое состояние, при котором их движение и реакция становятся наиболее быстрыми

Подвижность электронов в металлах убываетс температурой вследствие увеличения числа столкновений электронов с тепловыми колебаниями кристаллической решетки, что и приводит к уменьшению электропроводности металлов с ростом температуры. В полупроводниках же основной вклад в температурную зависимость электропроводности вносит зависимость от температуры концентрации носителей заряда.

Контактные явления. Работа выхода. Внутренняя и внешняя контактная разность потенциалов Эффект Зеебека. Термопара. Причины возникновения термоЭДС и ее зависимость от разности температур контактов. Коэффициент термоЭДС.

Электроны проводимости, движущиеся "свободно" по всему объему металла, не могут покинуть его. Металл является для электрона потенциальной ямой глубиной U₀. Для выхода электрона из металла требуется совершить работу выхода A_вых по преодолению сил, связи, удерживающих его в металле. Легче всего выйти электронам, имеющим наибольшую кинетическую энергию, то есть находящимся на уровне Ферми. За работу выхода этих электронов для данного металла принимается та энергия, которую им надо сообщить при Т = 0 К для выхода из металла как из потенциальной ямы: . А_выхсоставляет - единицы электрон-вольт.

Эта энергия может сообщаться электронам металла разными способами:

- световым облучением (фотоэлектронная эмиссия);

- бомбардировкой быстрыми электронами (вторичная электронная эмиссия);

- сильным внешним электрическим полем (холодная эмиссия) и др.

Рассмотрим два металла I и II с разными работами выхода и уровнями Ферми. Приведем характер энергетических зон этих металлов (незаряженных) до и после соприкосновения (приведения в контакт).

а) до контакта б) после контакта

При контакте двух металлов возникает переход электронов из металла с большим значением энергии Ферми, в результате чего первых металл зарядится положительно, а второй - отрицательно. При достижении состояния равновесия уровни Ферми выравниваются. При этом энергетические уровни в металле, зарядившемся положительно, опустятся, а в металле, зарядившемся отрицательно, энергетические уровни поднимутся. Между внутренними точками 1 и 2 контакта двух металлов возникает скачок потенциала , называемый внутренней контактной разностью потенциалов:

.

Между внешними точками 3 и 4 контактирующих металлов возникает внешняя контактная разность потенциалов , причина возникновения которой - в различии численных значений работ выхода контактирующих металлов: .

Суммарная разность потенциалов колеблется для разных металлов от 10^-2В до 10 В.

В случае разомкнутой цепи, состоящей из нескольких контактирующих металлов, результирующая разность потенциалов зависит только от характеристик двух крайних металлов. Если же цепь замкнута и все спаи (контакты) находятся при одинаковой температуре, то суммарная контактная разность потенциалов равна нулю (закон Вольта). Это следует из приведенных выше соотношений для внутренней и внешней контактной разности потенциалов.

Эффект Зеебека — явление возникновения ЭДС в замкнутой электрической цепи, состоящей из последовательно соединённых разнородных проводников, контакты между которыми находятся при различных температурах. Эффект Зеебека также иногда называют просто термоэлектрическим эффектом.

Термопара - датчик температуры, состоящий из двух соединённых между собой разнородных электропроводящих элементов (обычно из металлич. проводников, реже из полупроводников). Действие Т. основано на эффекте Зеебека. Если контакты (обычно спаи) проводящих элементов, образующих Т. (их часто наз. термоэлектродами), находятся при разных температурах, то в цепи Т. возникает эдс (термоэдс),величина к-рой однозначно определяется температурами горячего и холодного контактов и природой материалов, применённых в качестве термоэлектродов.

Термоэдс - электродвижущая сила U, возникающая в электрич. цепи, состоящей из неск. разнородных проводников, контакты между к-рыми имеют разл. температуры (Зе-ебека эффект). Если электрич. цепь состоит из двух разл. проводников, она наз. термоэлементом или термопарой .Величина T. зависит только от температур горячего T₁ и холодного T₂ контактов и от материалов проводников. В небольшом интервале температур (0-100 ^oC) U=a(T₁- T₂). Коэф. а, называемыйкоэф. Зеебека или термоэлектрич. способностью пары, термосилой, коэф. Т., удельной Т., зависит от материала проводников и интервала температур.

Если вдоль проводника существует градиент температуры, то электроны на горячем конце приобретают более высокие энергии и скорости. В полупроводниках, кроме того, концентрация электронов растёт с температурой. В результате возникает поток электронов от горячего конца к холодному, на холодном конце накапливается отрицат. заряд, а на горячем остаётся нескомпенсир. положит.заряд. Накопление заряда продолжается до тех пор, пока возникшая разность потенциалов не вызовет равный обратный поток электронов. Алгебраич. сумма таких разностей потенциалов в цепи создаёт одну из составляющих Т., к-рую наз. объёмной. Другие составляющие T. связаны с температурной зависимостью контактной разности потенциалов и с эффектом увлечения электронов фононами. T. к. число фононов, движущихся от горячего конца к холодному, больше, чем число электронов, движущихся навстречу, то в результате увлечения ими электронов на холодном конце накапливается отрицат. заряд. Эта составляющая Т., называемая T. у в л е ч е н и я, при низких темп-pax может быть в десятки и сотни раз больше других. В магнетиках играет роль также увлечение электронов магнонами.

Термоэдс металлов очень мала, сравнительно больше T. в полуметаллах и их сплавах, а также в нек-рых переходных металлах и их сплавах (напр., в сплавах Pd-Ag T. достигает 86 мкВ/К). Термоэдс в этих случаях велика из-за того, что ср. энергия электронов в потоке сильно отличается от энергии Ферми. Иногда быстрые электроны обладают меньшим коэф. диффузии, чем медленные, и T. меняет знак. Величина и знак T. зависят также от формы ферми-поверх-ности, разл. участки к-рой могут давать в T. вклады противоположного знака. Знак T. металлов иногда меняется на противоположный при низких темп-pax. В полупроводниках n-типа на холодном контакте скапливаются дырки, а на горячем остаётся нескомпенсир. отрицат. заряд (если аномальный механизм рассеяния носителей заряда или эффект увлечения не приводит к перемене знака Т.). В термоэлементе, состоящем из полупроводниковр-и п-типов, термоэдс складываются. В полупроводнике со смешанной проводимостью к холодному контакту диффундируют и электроны и дырки и их заряды взаимно компенсируются. Если концентрации и подвижности электронов и дырок равны, то T. равна нулю.

ТермоЭДСконтуpa определяется формулой:

,,

где α_Aиα_Вназываются абсолютными термоЭДС проводников А и В, Абсолютная термоЭДС — характеристика проводника, равная α= dU/dT, где U — ЭДС, возникающая в проводнике при наличии в нём градиента температур.

Коэффициент термоэдс определяется физическими характеристиками проводников, составляющих термоэлемент: концентрацией, энергетическим спектром, механизмами рассеяния носителей заряда, а также интервалом температур. В некоторых случаях при изменении температуры происходит даже изменение знака a.

Термоэдсобусловлена тремя причинами:

1) температурной зависимостью уровня Ферми, что приводит к появлению контактной составляющей термоэдс;

2) диффузией носителей заряда от горячего конца к холодному, определяющей объемную часть термоэдс;

3) процессом увлечения электронов фононами, который дает еще одну составляющую - фононную.