Пример определения траектории движения точек механизма

Пример 2. Построить траектории движения заданных точек исполнительного рычажного механизма качающегося инерционного конвейера (рис.2.2) по следующим исходным данным: частота вращения кривошипа n₁ = 75 об/мин; размеры: l_O1A = 0,2 м, l_АВ = 0,6 м, l_O2B = 0,5 м, l_ВC = 1,3 м, X₀ = 0,45 м, Y₀ = 0,1 м; центры масс звеньев 2, 3 и 4 размещены посредине их длин, 1 – на оси кривошипа; положение звеньев для силового расчета механизма при φ₁ = 150°.

Графическое построение траекторий движения точек звеньев осуществляется методом засечек. Суть этого метода рассмотрим на примере механизма по рис.2.2. Здесь ведущее звено – кривошип ОА; угловая скорость – постоянная.

Построение траекторий движения заданных точек начинается с вычерчивания в выбранном масштабе схемы механизма для заданного положения. Пример построения траекторий движения заданных точек механизма представлен на рисунке 2.6.

Методика построения планов механизма (рис.2.6):

1. В выбранном масштабе радиусом, равным величине кривошипа О₁А, из точки О₁ начертить окружность.

2. Полученная окружность является траекторией пальца кривошипа с точкой А. Методом засечек эту окружность разделить на 12 (6) равных частей и произвести предварительную нумерацию точек деления в направлении вращения кривошипа.

3. Найти координаты точки О₂ и положения линии действия точки С ползуна.

4. Звено О₂В совершает вращательное движение. Поэтому точки звена будут двигаться по дуге. Растворами циркуля О₂В провести эту дугу.

5. Раствором циркуля размером звена АВ в масштабе из точки А₀ на дуге траектории точки В сделать засечку. Это точка В₀.

6. Соединить точки А₀ и В₀ прямой линией. Получили положение звена АВ.

7. Раствором циркуля размером звена ВС, в масштабе, из точки В₀ сделать засечку на пересечении с линией действия точки С ползуна. Это точка С₀.

8. Из точки В₀ провести прямую до пересечения с траекторией точки С. Получили точку С₀.

Отсчет номеров положения точки А ведется по возрастающей по направлению вращения кривошипа. Начало отсчета точки А₀ должно соответствовать положению механизма, при котором выходное звено С начинает движение рабочего хода, находясь в крайнем ближнем положении, то есть в таком положении, из которого выходное звено С может двигаться только в одном направлении.

Далее методом засечек, аналогично, получают точки В_1, В_2, В₃…. и С_1, С_2, С₃….Соединяем между собой точки А и О₁,  А и В, В и О₂, В и С в соответствии с номером положения.

Для определения траектории движения центров масс звеньев АВ, ВО₂ и ВС необходимо указать их на соответствующем звене в каждом положении механизма, а затем, соединить точки последовательно. Получим плавную кривую траектории движения центров масс этих звеньев. По траектории движения видно, звенья АВ и ВС совершают плоскопараллельное движение, которое состоит из поступательного движения и вращательного движения вокруг некоторого полюса. Звенья АО₁ и ВО₂ совершают вращательное движение вокруг неподвижной оси.

При графическом изображении рассмотренных построений рекомендуется схему механизма для заданного положения и траектории движения наносить жирными линиями, а промежуточные положения – тонкими, можно использовать линии разного цвета.

Пример построения плана скоростей

Пример 3. Построить план скоростей исполнительного рычажного механизма качающегося инерционного конвейера (рис.2.2) по следующим исходным данным: частота вращения кривошипа n₁ = 75 об/мин; размеры: l_O1A = 0,2 м, l_АВ = 0,6 м, l_O2B = 0,5 м, l_ВC = 1,3 м, X₀ = 0,45 м, Y₀ = 0,1 м; центры масс звеньев 2, 3 и 4 размещены посредине их длин, центр массы звена 1 – на оси кривошипа; положение звеньев для силового расчета механизма при φ₁ = 150°.

Решение (рис.2.7)

Укажем на некоторые особенности в решении рассматриваемой задачи, которые могут вызвать затруднения при ее разборе.

Крайние положения 0 и 7' звеньев механизма определяются по результатам построения траектории точек механизма (рис.2.2). При составлении и использовании векторных уравнений для построения планов скоростей необходимо учесть, что ползун 5 совершает поступательное прямолинейное движение, кривошип 1 и коромысло 3 – вращательное движение вокруг неподвижных осей О₁ и О₂ соответственно, шатуны 2 и 4 – плоское (плоскопараллельное) движение (см. пример 1 для структурного анализа механизма).

Построение следует начинать с ведущего звена АО₁, точка О₁ которого является неподвижной.

1. Абсолютная скорость точки А – это скорость вращения вокруг точки О₁:

       (2.11)

2. Угловая скорость кривошипа при частоте вращения кривошипа:

n₁ = 75 об/мин, равна:

3. Модуль скорости точки А:

Скорость точки О₁: V_О1 = 0.

4. Масштабный коэффициент для планов скоростей по формуле (2.7):

Направление скорости кривошипа АО₁ определяется по направлению угловой скорости ω₁ и строится перпендикулярно звену АО₁.

Выбрав полюс плана скоростей – p_υ (рис.2.7) и в выбранном масштабе отложить отрезок p_υа.

Для определения абсолютной скорости точки В (рис.2.7) рассмотрим движение звена АВ как поступательное (переносное) вместе с точкой А, взятой за полюс, и вращательное (относительное) – вокруг точки А.

5. Абсолютная скорость  равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей. Следовательно:

            (2.12)

где  – абсолютная скорость точки А;  – скорость вращения точки В относительно А.

В векторном уравнении (2.12) известны: вектор скорости  и линии действия векторов и . Для графического решения этого векторного уравнения, из точки А плана скоростей проводим линию действия вектора  перпендикулярно звену АВ, а из полюса p_υ – линию действия  перпендикулярно звену О₂В. В результате на пересечении этих линий получим точку b. Вектор  = представляет собой в масштабе μ_υ абсолютную скорость точки В.

Строим план скоростей механизма для положения 5 (φ = 150°). В этом положении модуль скорости точки В можно вычислить по формуле (2.8), длина вектора  = 60 мм (см. рис.2.7):

Абсолютную скорость можно вычислить, также используя формулу (2.8) учитывая, что длина вектора  (рис.2.7):

6. Положение точки центров масс S₂, S₃, S₄ на плане скоростей строится на основе соотношений теоремы подобия для скоростей:

7. Для определения абсолютной скорости точки С составим векторное уравнение, которое равно геометрической сумме переносной скорости точки  и относительной скорости . Следовательно:

           (2.13)

В уравнении (2.13) известны: линия действия вектора скорости  параллельна оси х – х, а линия действия вектора скорости  перпендикулярна звену ВС. При графическом решении этого векторного уравнения, из точки b плана скоростей проводим линию действия вектора  перпендикулярно звену АВ, а из полюса p_υ – линию действия  параллельно оси х – х. В результате на пересечении этих линий получим точку С. Вектор  представляет собой в масштабе μ_υ абсолютную скорость точки С.

Строим план скоростей механизма для положения 5 (φ = 150°). В этом положении абсолютную скорость точки С можно вычислить по формуле (2.8), учитывая, что длина вектора  = 50 мм (рис.2.7):

Абсолютную скорость  можно вычислить, используя формулу (2.8), длина вектора (рис.2.7):

Пример построения плана ускорений механизма

Пример 4. Построить план ускорений исполнительного рычажного механизма качающегося инерционного конвейера (рис.2.2) по следующим исходным данным: частота вращения кривошипа n₁ = 75 об/мин; размеры: l_O1A = 0,2 м, l_АВ = 0,6 м, l_O2B = 0,5 м, l_ВC = 1,3 м, X₀ = 0,45 м, Y₀ = 0,1 м; центры масс звеньев 2, 3 и 4 размещены посредине их длин, 1 – на оси кривошипа; положение звеньев механизма при угле поворота кривошипа φ₁ = 150°.

Решение (рис.2.8).

При построении плана ускорений необходимо составить векторные уравнения для абсолютных ускорений характерных точек механизма, а затем они решаются графическим способом (положение 5 механизма на рис.2.6).

Построение следует начинать с ведущего звена АО₁, точка О₁ которого является неподвижной.

1. Абсолютное ускорение точки А – это ускорение вращения относительно точки О₁:

   (2.14)

где  – ускорение точки О₁, принятой за полюс,  = 0;  – касательное ускорение точки А при вращении её относительно О₁;  – нормальное ускорение точки А при вращении её относительно О₁.

Величина нормального ускорения точки А:

Величина касательного ускорения точки А:

2. Масштабный коэффициент для планов ускорений по формуле (2.9):

Выбрать полюс плана ускорения – p_а (рис.2.8) и в выбранном масштабе отложить отрезок p_аа.

3. Для определения абсолютного ускорения точки В рассмотрим движение звена АВ.

С одной стороны, абсолютное ускорение  равно геометрической сумме переносного ускорения, равного ускорению полюса А и ускорения точки В при вращении относительно полюса А. С другой стороны, абсолютное ускорение  равно геометрической сумме переносного ускорения, равного ускорению полюса О₂ и ускорения точки В при вращении относительно полюса О₂. Следовательно, необходимо решить систему уравнений:

     (2.15)

где – переносное ускорение точки А; – ускорение точки О₂, принятой за полюс,  – касательное ускорение точки В при вращении её относительно А;  – нормальное ускорение точки В при вращении её относительно А;  – касательное ускорение точки В при вращении её относительно О₂;  – нормальное ускорение точки А при вращении её относительно О₂.

Модуль нормального ускорения точки В, при вращении её относительно А можно вычислить, используя результаты построения плана скоростей:

Модуль нормального ускорения точки В, при вращении её относительно О₂ также можно вычислить, используя результаты построения плана скоростей:

В векторном уравнении (2.15) известны: линии действия векторов касательного ускорения  и касательного ускорения , но их величины по модулю – неизвестны.

На плане ускорений вектор  изобразится отрезком , а вектор  изобразится отрезком .Величину отрезков можно вычислить, используя формулу (2.10):

Для графического решения этого векторного уравнения, из точки a плана ускорений проводим отрезок по линии действия вектора  параллельно звену АВ и по модулю равный . Вектор ускорения  – мал по величине и на чертеже свелся в точку.

Затем проводим линию перпендикулярно линии действия вектора . Далее, из полюса p_а – проводим линию действия  параллельно звену ВО₂ и по модулю равный , а затем линию перпендикулярно линии действия вектора . В результате на пересечении этих линий получим точку b. Вектор p_аb = а_В представляет собой в масштабе μ_а абсолютное ускорение точки В.

4. Для определения абсолютного ускорения  точки С, совершающей поступательное движение параллельно оси х – х, необходимо составить векторное уравнение.

Линия действия абсолютного ускорения  равна геометрической сумме переносного ускорения, равного ускорению  полюса В и ускорения  точки С при вращении относительно полюса В:

              (2.16)

где  – переносное ускорение точки В;  – касательное ускорение точки С при вращении её относительно В;  – нормальное ускорение точки С при вращении её относительно В.

Модуль нормального ускорения точки С, при вращении её относительно В можно вычислить, используя результаты построения плана скоростей:

Модуль  изобразится на плане ускорений отрезком . Величина отрезка мала по величине и на чертеже свелась в точку. В векторном уравнении (2.16) известна линия действия вектора касательного ускорения , но его величина по модулю – неизвестна.

Для графического решения этого векторного уравнения, из точки b плана ускорений, проводим линию действия вектора перпендикулярно звену СВ. Далее, из полюса p_а – проводим линию действия  параллельно х – х. В результате на пересечении этих линий получим точку с. Вектор p_ас представляет собой в масштабе μ_а абсолютное ускорение точки В.

Модуль ускорения  можно вычислить по формуле (2.10), длина вектора

Векторы ускорений точек S₂, S₃, S₄ находятся на плане ускорений в соответствии с теоремой подобия для ускорений и правилом обхода контуров по аналогии со скоростями этих точек.

Результаты кинематического анализа необходимы для исследования рабочего процесса механизма и для проектирования его узлов и деталей. Скорости и ускорения используются для расчета сил, мощностей, износостойкости и для определения истинного движения машины.

Рис. 2.6 План положений механизма μ_l = 0,01 м/мм

Рис. 2.7. Планы скоростей механизма, μ_υ = 0,035 (м·с^-1)/мм

для положений механизма 0, 1, 3, 5, 7, 7´, 9, 11.

Рис. 2.8. План ускорений механизма, для положения 5 механизма (φ₁ = 150°), μ_а = 0,24 (м·с^-2)/мм для положения механизма в точке 5