Теорема про структуру лін. стаціонарної системи.

(1) S_n=(B,AB,A²B,..,A^n-1B) rankS_n= r < n   (2) k₁,..,k_r

Теорема: Якщо rankS_n= r<n , тобто справджується умова (2), то систему (1) за допомогою лінійного перетворення X(t)=T(y) (3) можна звести до системи  (4). При чому Т матриця має вигляд: Т=(k₁,k₂,..,k_r,l₁,..,l_n-r) (5) де першими r стовпчиками є лінійно-незалежні стовпчики S_n, а решта n-rстовпців вибирають щоб виконувалася умова detT 0 (6).

Матриця  (7).   (8).

У співвідношеннях (7) і (8) P₁-матриця розміру - rxr; P₂ – rx(n-r); P₃ – (n-r)x(n-r) Q₁ – rxm. Крім цього                   rank (Q₁,P₁,Q₁,..,P₁^r-1Q₁)=r (9)

Доведення: Очевидно, що P=T^-1AT; Q=T^-1B. Покажемо, що лінійний підпростір породжений векторами K=(k₁,k₂,..,k_r) збігається з гіперплощиною y_r+1=0, y_r+2=0,..,y_n=0. (10). Запишемо перетворення

Наша гіперплощина (10) збігається з лінійним півпростором K, тоді система (4) має бути такою як описана в теоремі. Тобто, якщомивиберемопочаткову

умову з гіперплощини (10), то ми там же і залишимося на

цій гіперплощині. Якщо ми виберемо вектор то розв’язок системи (4) початковою умовою (11) має бути: yr+1|t|=0,..,yn|t|=0 для будь-якого t, t t0. Тоді структура матриць повинна бути, як описано в (7) і (8). Вектор y подамо у вигляді

(11),