Теорема про необхідні і достатні умови керовності.

Нех. СК описується такою с-мою ДР. (1):   Запишемо таку крайову умову(2) для с-ми (1): x(t₀)=x₀ є X, x(t₁)=x₁ є X, t є [t₀, t₁] Теорема1(Критерій цілком керовності с-ми(1)-(2)): Для того, щоб система (1),(2) була цілком керовною, н. і д., щоб вектор функцій при були лін.незал.

Доведення. 1)Достатність:

Запишемо розв’язок с-ми (1),який задовольняє поч. умову x(t₀)=x₀ : він має такий вигляд: .                         Для того, щоб с-ма (1) була цілком керовною треба підібрати ф-ію U(t) так, щоб виконувалася рівність:  (2.2),   або треба, щоб виконувалася така рівність   (2.3).Якщо знайдеться хоча б 1 така ф-ія, то їх можна підібрати дуже багато. Покажемо, що якщо вектор ф-ія (1) лін. незал., то можна таку ф-ію побудувати. Шукатимемо ф-ію U₀(t) у такому вигляді: U₀(t)=W^T(t,τ )l (2.4),де l- невідомий сталий вектор. Підставимо (2.4) в (2.3): Wl=C;

Якщо виявиться, що матриця Wє неособливою, тобто для неї вик. умова (2.5) detW<>0,то із р-ня ми знайшли б l однозначно:         l=W^-1*C(2.6). Покажемо, що за умов т-ми виконується умова (2.5).Виберемо б/я вектор q є Rⁿ,такий, що ||q||>0 (тобто, що хоча б 1 компонента <>0)                                     [ ||q||²=q^T*q=Σq_i², i=1,n ]. Тоді, за умовою т-ми, для цілого q : ||q^TW(t₁,τ )||²>0, τ є [t₀,t₁] , тоді можемо записати: (2.7)

2)Необх. Тобто,треба показати таку річ: Нехай с-ма (1) цілком керовна,але вектор-рядочки матриці (1.6) лін. залежні. Поки що таке неможливе. Нехай існує вектор l,l<>0 l^TW(t₁,τ )=0 τ є [t₀,t₁], =>,що існує таке керування U(t),що розв’язок (1.1) задовольняє умови (1.2) ¥ x₀,x₁.(при цьому керуванні). Виберемо вектори x₀ і x₁ так,щоб вик. умова:l^T(x₁-X(t,t₀)x₀)<>0 (2.10). Тоді,якою б не була ф-ія U(t) (=>із(2.9))     ,а оск. с-ма цілком керовна,то її розв’язок можна записати у вигляді (2.2) або (2.3), тоді маємо: (2.11).Що суперечить умові цілком керовності. ТД. Наслідок: Покажемо,що ф-ія U₀(t),побудована у процесі доведення т-ми,має таку вл-ть (для цілком керовної с-ми): ¥ іншої ф-ії U(t)<>U₀(t),яка переводить с-му (1.1) із стану x₀ в стан x₁,справджується нерівність:    (2.12).Щоб це показати розглянемо таку р-ть: ||U(t)||²-2U₀^T(t)(U(t)-U₀(t))=||U(t)||²+||U(t)-U₀(t)||² , [ де ||U(t)||²=U^T(t)*U(t) ,тобто, ||U(t)||²=U^T(t)*U(t)=ΣU_i²(t), i=1,m ]. Проінтегруємо р-ть (2.13) в межах від t₀ до t₁ і врахуємо,що U(t) – керування,при якому розв’язок переходить із

 стану x₀ в x₁:

(це просто міркування) А тепер інтегруємо  (звідси→(2.12))