Лема про ранг матриці керовності лін. стаціон. с-ми

Якщо ранг матр. Sn: rank Sn = r≤n, то

1) rank Sr = r (1)

2)б/я стовпчик матр. Sn можна виразити ч/з r лін.незал. стовпців матр. Sr ; або як лін. комбінацію лін.незал. стовпців матр. Sr.

Дов-ня. Розгл. bj, Ab,…, An-1bj (2). Нех. серед цих векторів rj

лін.незал.векторів. Покаж., що цими век-ми є век-ри: bj, Ab,…, Ar-1bj ( (rj-перших век-рів).

Дов-ня від супрот. Нех. це не так, тобто у (2) mj век-рів: mj<rj-лін.незал., а mj+1 лін. вираж-ся ч/з mj-век-рів. І решта rj-mj знах. між mj+1 . bj, Ab,…, Amj-1bj, Amjbj, Amj+1bj,… An-1bj,

 це mj лін.незал., тому => Amjbj = (3)

Серед коеф-в -є хоча б 1 відмін. від 0. Домнож. (3)*А зліва

Amj+1 bj = = = = (4)

Домнож. (4)*А (зліва), одерж.:

Amj+2 bj = …………..

An-1 bj = 

.Вказані рівності показ., що кожен век-р почин-чи з n+1 є лін. комбін-ю mj перших векторів => mj=rj.

Далі міркуємо так: беремо з сукупності Sn = (B, AB,…An-1B) (n*m-стовпців) почерзі вектори: b1, Ab1,…, An-1b1, де шукаємо ранг, як макс-ну кіль-ть лін.незал. век-рів r1<r;

Далі b2, Ab2,…, An-1b2,, де r1+r2=r , r2<r. І так далі, поки rn=r .

Щоб довести 2) ми зробимо так:

Якщо вектор належ. сукуп-ті лінійнонезал-х векторів, то він вираж-ся сам ч/з себе. Б/я інший вектор належ-ть одній із груп типу (2). Тоді цей вектор можна подати як ліню комб-ю лін.незал. век-рів викор-чи попер. міркування, а це означ. правильність твердження.

13. Критерій керованості лін. стац. системи.

(1) S_n=(B,AB,A²B,..,A^n-1B) (2)

Теорема(про необх. і дост. умови цілком керованості лінійної стаціонарної системи ):

Для того, щоб система (1) була цілком керованою, н. і д., щоб .

Доведення. Достатність. Нехай (3) виконується. Покажемо, що вектор-рядки матриці імпульсної перехідної функції є лінійно незалежними .. Доведення проведемо від супротивного. Нехай вектор-рядки матриці (4) будуть лінійно залежними, тобто існує n-вимірнійсталий вектор l.

,  (5)

Останню нерівність продиференціюємо по n-1 раз і розглянемо наступні співвідношення ,

.(6)

X(t, ) = Ф(t₁)Ф^-1( ), , де Ф- фундаментальна матриця розв’язків системи.

 (7)

l^TX(t, )B = 0

З (10) вектор-рядки матриці (2) – лінійно-залежні , а це суперечить умові (3). Необхідність: Нехай вектор-рядки матриці (4), лінійно незалежні, тобто система цілком керована. Покажемо, що справджується умова (3). Нехай це не так, тобто

rankS_n<n => на основі Леми1. , , Отже ми одержимо, що система не цілком керована, а це суперечить умові теореми.

Лема про інваріантний підпростір лінійної стаціонарної системи .

Розглянемо стаціонарну систему

    (6.1)

і припустимо, що для неї не викон.умова цілком керованості і rankS_n= r<n (6.2) K₁, K_{2 ,}...,K_r – лін.незал. стовпчики матр. S_n, тоді виконується лема :

Лема:Якщо для сист. (6.1) викон. умова (6.2) то підпростір K_r= {k₁,…,k_r} (6.3) є інваріантним підпростором для сист. (6.1). Тобто це означає, що якщо x₀є K_r,  то р – ок (6.1) який задов. початк. ум. X(t₀) = x₀ (6.4) також належить x(t)K_r t, t ≥ t₀

Дов-ня:

Запишемо р-ок (6.1), який задов. умову (6.4). Цей р-ок має вигляд:  x(t) = e^A(t-t0)x₀ +

Використаємо подання e^At як:

(6.5)

Врахуємо, щоx₀ =   (6.6)

. На основі леми про ранг керованості матриці ми можемо стверджувати, що цей вектор можна подати, як K_r {k₁…k_r}.

 = (6.7)

Розглянемо = (6.8)

За лемою (1) кожний стовпчик

ми можемо подати, як мін. комб. вектора (k_1, k_{2, …,} k_r)

k_p (6.9)

x(t) =  = =

=

Якщо позначити [] через λ_Р(t), то: x(t) = (6.10)

      (7.1)

S_n = (B, AB,…A^n-1B)rank S_n = r < n (7.2)