Перехідна та імпульсна перехідна функції лінійних систем керування.

Нехай математична модель керування задана рівнянням n – ого порядку

(1) .

– одновимірний сигнал (функція), яка має багато похідних. – подається на вхід системи. – реакція системи на .

Розглянемо таку одиничну функцію:

(2). 

Озн.: Реакція системи (1) на вхідний сигнал (2) називається перехідною функцією системи, якщо до моменту подачі вхідного сигналу система знаходилась у стані спокою. Позначається .

Перехідна функція – це розв’язок такої задачі: (3)-(4):  (3).   (4). 

Озн.: імпульсною перехідною функцією  системи (1) називається реакція системи на вхідний сигнал типу одиничного імпульсу, якщо до моменту подачі вхідного сигналу система знаходилась в стані спокою. є розв’язком задачі (5)-(6):     (5)                 (6)

–ф-ія Дірака , (7)

Властивості ф-ї. Дірака:

(8) (9)  (10).

δможна подати у вигляді 2х вхідних сигналів, що мають протилежніінтенсивності,тоді

 – рівняння Беллмана в диференціальній формі.  – крайова умова (записується із вигляду ф-ції S(t,x): .

Зв’язок між вхідним і вихідним сигналами лінійної одновимірної системи керування

Розглянемо одновимірну лінійну систему зі змінними параметрами, яка описується рівнянням

.                                        (2.1)

Нехай система до моменту подачі вхідного сигналу знаходиться в стані спокою. За початок відліку часу виберемо момент подачі вхідного сигналу і початкові умови запишемо у вигляді

.                                (2.2)

Знайдемо інтегральний зв’язок між вхідним  і вихідним  сигналами системи (2.1) за умови (2.2).

       Нехай  лінійно-незалежні розв’язки однорідного рівняння

.                                            (2.3)

З теорії диференціальних рівнянь відомо, що розв’язок неоднорідного рівняння (2.1) за умови (2.2) можна подати у вигляді

,                                              (2.4)

де

,         (2.5)

а

.