Перетворення Лапласа. Передавальна функція лінійної стаціонарної одновимірної системи керування

Основний зміст інтегральних перетворень, в тому числі й перетворення Лапласа, – це взаємно-однозначний перехід від одного класу функцій (функцій  – класу оригіналів) до іншого класу функцій (наприклад, до , який називається класом зображень). Уновому класі суттєво змінюється природа математичних операцій. А саме, інтегрування диференціального рівняння в класі оригіналів може звестися до відшукання коренів алгебраїчного рівняння в класі зображень. Такий перехід забезпечує спрощення відшукання розв’язку початкової задачі.

Означення 3.1Оригіналом (за Лапласом) називається функція  (нас цікавитимуть тільки дійсні функції) дійсного аргументу , яка задовольняє умови:

1)  – однозначна неперервна або кусково-неперервна функція разом зі своїми похідними до -го порядку на всій числовій осі ;

2)  при ;

3) існують такі числа  і , що для

(точна нижня межа  чисел  називається показником росту функції ).

Означення 3.2 (зображення за Лапласом). Зображенням функції-оригінала  називається функція  комплексної змінної , яка визначається за допомогою інтеграла Лапласа

.                                      (3.1)

       Наведемо без доведення наступні теореми.

       Теорема 3.1 Якщо функція  – оригінал з показником росту , то інтеграл  збігається в півплощині , в цій півплощині інтеграл є аналітичною функцією і в цій області .

       Теорема 3.2 Якщо функція  аналітична в області , у цій області  і інтеграл  збігається, то функція  є зображенням, а її оригінал можна знайти за формулою

,                           (3.2)

де інтегрування проводиться вздовж прямої, яка паралельна до уявної осі, на віддалі  від неї.

       Розглянемо тепер лінійну систему керування зі сталими коефіцієнтами, яка описується рівнянням

                       (3.3)

і до моменту  подачі сигналу керування ця система знаходиться в спокої, тобто

, .           (3.4)

       Припустимо, що функції  і  задовольняють умови оригінала. Застосуємо до рівняння (3.3) перетворення Лапласа (3.1). Враховуючи умови (3.4), знайдемо

,                      (3.5)

де

, .

Запровадимо позначення

, ,

.                                                 (3.6)

Тоді рівність (3.5) можна записати у вигляді

,(3.7)

Або .                                 (3.8)

       Функція  називається передавальною функцією системи.

Функції від матриць. Подання розв’язку стаціон. і нестаціон. лінійних систем керування через фундаментальний р – ок.

(1)- нестац. лін.система x(t) є R , x є R u(t) є R , ,  – відомі.

(1.1)– стаціон. лін.система.

(2)

Лема: Ряд (2)збіг. абсолютно при кожному фікс. tдля дов. квадратної матр. А з дійсними або комплексними елементами і рівномірно на будь-якому скінченому інтервалі.

(3)

Теорема: Якщо матриця  задовольняє умови леми 4.1, то розв’язок матричної задачі Коші

                                       (4)

має вигляд

(5)

Твердження1:

Розглянемо таку задачу

(7),    (8)

Розв’язком є вектор .

Теорема 4.3 Якщо матриця  задовольняє умови леми 4.1, то розв’язок задачі

                                         (9)

має вигляд

.                              (10)

       Доведення цієї теореми одержується безпосередньою перевіркою.

       В рівності (10) покладемо всі компоненти вектора  рівними нулеві, за винятком однієї  ( ), яку візьмемо рівною одиничному імпульсу , зосередженому в точці . Позначимо  розв’язок рівняння (0) за умови . Одержимо

 – -й рядок.