Точность оценки, доверительная вероятность. Доверительный интервал.

 Путь найденная по данным выборки статистич хар-ка Ō_n служит оценкой неизвестного параметра Ө ясно что Ō_n тем точнее определяет Ө чем меньше разность ׀Ө - Ō_n׀ другими словами если δ > 0 и ׀Ө - Ō_n׀ < δ то чем меньше δ тем точнее оценка. Однако статистич методы не позволяют категорически утверждать что оценка

Ō_n удовлетворяет ׀Ө - Ō_n׀ < δ можно лишь говорить о вер-ти j с которой это нер-во выполняется

Опр: надежностью (доверит вер-тью) оценки Ō_n параметра Ө называется вер-ть j с кот осуществляется ׀Ө - Ō_n׀ < δ

Обычно надежность задается на перед и в кач-ве j берут число близкое к 1

Опр: доверительным называют интервал (Ōn-δ, Ōn+δ) кот покрывает неизвестный параметр Ө с заданной надежностью вер-ти j

27.Довер-ные интервалы для оценки мат. ожидания нормальн. распред-я при известном δ

Доверительные интервалы покрывают параметр а с надежностью j кот имеет вид :

=γ

n–объем выборки,x_b–выборочное среднее,

δ – известный параметр,t – значение оргументов ф-ии Лапласа удовлетворяющие условия Ф(t)=γ/2

замечание: при увеличении объема выборки n точность оценки увеличивается.

28.Доверительные интервалы для оценки ср квадратич отклонения δ нормального распред-я

 Найдем доверит интервалы для оценки ср квадратич отклонения δ нормального распределения. Укажем оценку неизвесного генерального ср квадрат отклонения δ по исправленному выборочному среднему S с надежностью j

S(1-q)<δ<S(1+q), q<1

0<δ<S(1+q), q>1,

Где q=q(n,j) и ищется по табл 4 а исправленная ср квадратич отклонение S ищется по выборке.

31. СРАВНЕНИЕ ДВУХ ДИСПЕРСИЙ НОРМ. И ГЕН.СОВ-СТЕЙ. На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить точность приборов, инструментов, самих методов измерении и т.д. Очевидно, предпочтительнее тот прибор, инструмент и метод, который обеспечивает наименьшее рассеивание результатов измерений, т.е. наименьшую дисперсию. Пусть ген.сов-сти Х и У распределены нормально. По независимым выборкам с объемами, соотв-но равными n₁ и n₂, извлеченным из этих сов-стей, найдены исправленные выб.дисперсии S_x² и S_y²_. Требуется по исправленным дисп-ям и при заданном уровне значимости α(альфа) проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что ген.дисп-сии рассматриваемых сов-стей равны между собой( Н₀: D(X)=D(Y) ). В качестве критерия проверки Н₀ примем отношение большей исправленной дисп-сии к меньшей.( F=Sб² / Sм² ).ПРАВИЛО 1: Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу ( Н₀: D(X)=D(Y) ) при конкурирующей гипотезе Н₁=D(X)>D(Y) надо вычислить отношение большей исправленной дисперсии к меньшей (F_набл=Sб² / Sм²). И по таблице критич.точек распределения по заданному уровню значимости α(альфа) и числам степеней свободы k₁=n₁-1 и k₂=n₂-1 найти критич.точку (F_набл=( α, k_1, k₂ ). Если F_набл>F_крит – нулевую гипотезу отвергают, если F_набл<F_крит – нет оснований отвергать нулевую гипотезу. ПРИМЕР: По двум независ.выборкам объемов n₁=12 и n₂=15, извлеченных из нормальных ген.сов-стей Х и У, найдены исправленные выб.дисп-сии S_x²=11,41 и S_y²=6,52. При α=0,05 проверить Н₀: D(X)=D(Y) при Н₁:D(X)>D(Y). РЕШЕНИЕ: F_набл=11,41 / 6,52 =1,75 D(X)>D(Y) – Крит.область правосторонняя. По таблице 7 α=0,05, k₁=12-1=11 и k₂=15-1=14. Находим F(0.05 , 11, 14)=2,56. Т.к 1,75<2,56 – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.ПРАВИЛО 2: Для того, чтобы при заданном уровне значимости α проверить нул.гипотезу о равенстве ген.дисп-сий нормально распределенных сов-стей при конкур-щей гипотезе Н₁= D(X) ≠D(Y) надо вычислить отношение большей исправлен.дисп-сии к меньшей(F_набл=Sб² / Sм²). И по таблице крит.точек распред-ния при α/2 и числам степеней свободы k₁ и k₂ найти Крит.точку (F_крит=( α/2, k_1, k₂ ). Если F_набл<F_крит -- нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Если F_набл>F_крит -- нулевую гипотезу отвергают. ПРМЕР: По двум независ.выборкам с n₁=10 и n₂=18 найдены S_x²=1,23 и S_y²=0,41 при α=0,1 проверить Н₀: D(X)=D(Y) при Н₁= D(X) ≠D(Y). РЕШЕНИЕ: F_набл=1,23 / 0,41=3. По таблице: α/2=0,1/2=0,05. F_крит=2,5. Т.к 3>2,5 , нулевую гипотезу отвергают.

32. СРАВНЕНИЕ ДВУХ СРЕДНИХ ГЕН.СОВ-СТЕЙ, ДИСПЕРСИИ КОТОРЫХ ИЗВЕСТНЫ. Пусть ген.сов-сти Х и У распределены нормально. По независ.выборкам, объемы которых m и n, извлечен-ным из этих сов-сткй, найдены выборочные средние Х и У. Требуется по выбор.средним при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что ген.средние рассматр-ых сов-стей равны между собой(Н₀:М(Х)=М(У). В качестве критерия проверки нул.гипотезы примем случ.величину: 

Z=(Х-У)/о(Х-У)=(Х-У)/ D(X)/n+D(X)/m 

ПРАВИЛО 1: Для того, чтобы при заданном уровне значимости α проверить нул.гипотезу Н₀:М(Х)=М(У) о равенстве мат.ожиданий двух нормальных ген.сов-стей с известными дисперсиями при конкур-ей гипотезе: Н₁:М(Х)≠М(У) надо вычислять наблюдаемое значение критерия: Z_набл =(Х-У)/ D(X)/n+D(Y)/m . По таблице ф-ции Лапласа найти Крит.точку по равенству: Ф_{2 крит}=(1- α)/2 . Если | Z_набл |< Z_крит – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если | Z_набл |> Z_крит – нулевую гипотезу отвергают. ПРИМЕР: По двум независ. выборкам n=60 и m=50 найдены D(X)=120 и D(Y)=100, найдены выбор.средние Х=1250 и У=1275, α=0,01. Проверить Н₀:М(Х)=М(У) при Н₁:М(Х)≠М(У). РЕШЕНИЕ: Z_набл =(1250-1275)/ 120/60+100/50= -12,5. Ф(Z_крит)=(1-0,01)/2=0,495. Z_крит=2,58. | 12,5 |>2,58 – нулев.гипотезу отвергаем.

33.Двумерная СВ.Матрица распред-я.Ф-ция распред-я двумерной СВ,ее св-ва.Пусть (Х,У)-сис-ма 2-х дискретн.СВ,причем СВ Х принимает n значений,кот-е образуют множ-во G={ х₁,х_2,…х_n },СВ У принимает m значений,кот.образуют множ-во Н={ у₁,у_2,…у_n }.Обозначим ч/з р_ij вероятн-ть того,что Х принимает значения х_i и одновременно У=у_j,т.е р_ij=Р(Х= х_i,У= у_j). Аналогом ряда распред-я одной СВ Х д/2-х дискретн.СВ,образующих сис-му (Х,У) явл-ся матрица распред-я,т.е прямоугольн.таблица размером n*m,записанная в виде

Отметим,что ∑ всех вероят-тей таблицы=1. ∑_i∑_jp_ij=1.Сис-му 2-х СВ (Х,У)наз-т двумерной СВ.Ф-цией распред-я 2-х СВ(Х,У)наз-ся ф-ция F(х,у)=Р(Х<х,У<у).Теорема1.Если известна матрица распред-я 1 дискретн.СВ(Х,У),то ее ф-ция распред-ния находится путем суммирования всех p_ij д/кот. х_i<х,у_j<у,т.е F(х,у)= ∑ _хi<х∑ _уj<у p_ij.Зная матрицу распред-я 1 двумерн.СВ можно найти ряды распред-я одномерных СВ Х и У.Теорема2:Для того,чтобы найти вероят-ть того,что отдельн.СВ,входящая в сис-му приняла опред.значения надо просуммировать все вероят-ти p_ij в соответств-щей этому значению строке(столбце) матрицы распред-я 1. Двумерн.СВ(Х,У)наз-ся непрерывной СВ явл-ся ее компаненты Х и У.Теорема3.Если ф-ция распред-я F(х,у) двумерн.СВ(Х,У) явл-ся непрер.ф-цией,диффер-мой по каждому из аргументов х,у и имеющей смешан.производную (υ² F(х,у))/ υхυу,то двумерная СВ(Х,У)непрерывна.Осн.св-ва двумерн.СВ:1.0≤ F(х,у)≤1;2.Ф-ция распред-я явл-ся неубывающей ф-цией по каждому из своих эл-тов,т.е х₁<х₂ отсюда следует F(х₁,у)≤F(х₂,у); у₁≤у₂ отсюда следует F(х,у₁)≤F(х,у₂)