Эл-ты комбинаторики.Размещ-я. Переста-новки. Сочетания.

ТВ-наука о вычислении вероят-тей случ.событий..Рассм-м эл-ты комбинаторики- раздел элем.мат-ки,изучающий вопрос кол-ва раз-лич.комбинаций,кот.можно составить при опред. условиях из бесконечн.множ-ва задан.объек-тов (х_1,х_2….х_n). Осн.правила комбинаторики: 1.правило произвед-я.Если компаненту х₁ карте-жа(х_1,х_2..х_n) можно выбрать n₁ способами,компаненту х₂ независимо от компанента х₁ выбрать n₂ спосо-бами ,компаненту х_к независимо от предыдущих компанентов выбрать n_к способом ,то картеж (х₁,х_2,…х_n)можно выбрать n_1,n_2..n_k. 2.правило суммы.Пусть из множ-ва А={а₁,а₂,..а_к} эл-т а₁ можно выбрать n₁ способом,а₂- n₂ способом, а_к- n_к.Тогда выбор одного из эл-тов множ-ва А а_1,а₂ или а_к можно сделать а₁₊а_2+…а_к. Картежем длины k составлен-м из эл-тов n-множ-ва Х наз-т размещением с повторе-ниемиз n эл-тов по k.Их число обозначают А¯^к_{n =} n*n …*n^к.Картежем длины k составлены из эл-тов n-множ-ва Х,у кот.все компаненты различны наз-ся размещением без повторений из эл-тов по k. Их число обознач-ся А^к_n.

А^к_n= n_*(n-1)*(n-2)…(n- k+1)= n_.!/_.(n- k)!

Размещением без повторений из n эл-тов по n эл-тов наз-ся перестановками из n эл-тов. Обозн-ся Р_n.Р_n=n!Подмнож-вом, сост-щим из k эл-тов взятые из множ-ва х наз-ся сочетаниями из n эл-тов по k и обознач-ся С^к _n. С^к _n= А^к_n/ Р_к= n !/(n- k)! k!

2. Испытания и события. Операции над событиями, их свойства. Испытанием назыв. эксперимент, который можно проводить в одинаковых условиях неопред. количество раз(подбрасывание монеты, подбрасывание игрального кубика). Случайным в теории вероятностей называют событие, которое при данном испытании, в данном опыте может либо произойти, либо не произойти и для которого имеется определенная вероятность его наступления. Вероятность случайного события A, обозначаемая P(A)– числовая мера степени возможности появления данного события при определенных условиях. При этом всегда 0<P(A)<1 Событие называется достоверным, если в результате опыта оно обязательно произойдет. Его вероятность равна единице.

Событие называется невозможным, если в результате опыта оно не может произойти; его вероятность равна нулю.

Суммой нескольких событий называется событие, заключающееся в появлении хотя бы одного из них. Несколько событий A₁,A₂,…A_n называются несовместимыми в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться одновременно. Согласно теореме сложения вероятностей вероятность суммы несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий

Если в каком-то опыте может произойти либо событие A₁, либо событие A₂, то событие A₂ называют противоположным событию A₁, и обозначают , считая что:

3. Классическое определение вероятности. Статистическое и аксиоматическое определение вероятности.Классическое определение вероятности связано с определением благоприятствующего исхода. Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события. Вероятность события  равна отношению числа равновозможных благоприятствующих элементарных исходов к общему числу всех равновозможных и единственно возможных элементарных исходов данного испытания: ,

где – число благоприятствующих событию  исходов;  – общее число возможных исходов.

Из определения вероятности события  следует, что , поэтому всегда выполняются неравенства , т.е. вероятность любого события есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Простейшие свойства вероятностей: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

Пусть произведено n-испытаний, при кот. соб-е А наступило К раз; 0≤k≤n, тогда отношение =Wnназ-ся частотой случайного события А. А предел lim Wn наз-ся вероятностью соб. Р(А).Такое определение вер.соб. называется статистическим. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностью Р(А) случ-го соб-я А наз-ся числовая ф-ия, определённая на мно-ве всех соб. и удовлетв-ая 3 условиям: 1. Р(А)≥0; 2.  3.Вероятность суммы конечного числа несовместных событий  равна сумме вероятностей этих событий: .

4.Теоремы сложения вероятности. Теорема 1. Вероятность суммы 2-ух событий ровна сумме вероятностей этих событий без вер-стей их совместного наступления. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B). Пусть число всех исходов n и даны 2 совместных события А и В, а число благо-ных исходов для А-k, В-l, A*B-q. P(A+B)=m/n. m=k+l-q.P(A+B)=(k+l-q)/n= P(A)+P(B)-P(A*B). Теорема 2.Вероятность суммы 2-ух несовместных событий равно сумме вер-стей этих событий. Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Вследствие: сумма вероятностей событий А1 , А2….Аn, образующих в полную группу ровна 1. Теоремы умножения вероятностей. Вероятность события В при условии, что произошло событие А наз. условной вер-стью события В, обозн. РА(В) или РВ(А). Теорема 3. Вероятность произведения 2-ух событий ровна произведению вер-сти 1-го события на условную вер-сть 2-го события, при условии, что 1-я вер-сть произошла. Р(А*В)=Р(А)*РА(В), Р(А*В)=Р(В)*РВ(А). Два события наз.независимыми, если вер-сть наступления 1-го не зависит от того наступило ли другое событие или нет. РА(В)=Р(В). Следствие теоремы:вер-сть совместного наступления несколькихсобытий незав. совокупностей равна произведению вер-сти событий. Р(А1 *А2*…*Аn)=Р(А1 )*Р(А2)*…*Р(Аn)

Фор-ла полной вер-ти

Пусть соб-е А может наступить при усл. появл-я одного из событий Н_1,Н₂...Н_п  обозначающих полную группу, тогда имеет место фор-ла полн. вер-ти

Р(А)=Р(Н₁)*Р_н1(А)+ Р(Н₂)*Р_н2(А)+…. Р(Н_п)*Р_нn(А)

Выведем эту формулу по условию событие АА может наступить, когда наступит одно из несовместных событий.

Другими словами, появл-е соб-я А означает осуществление одного из несовместных n-событий  

Н₁*А,Н₂*А….Н_п*А

Т.об., что событие А= Н₁*А+Н₂*А+….Н_п*А

Р(А)=Р(Н₁*А)+Р(Н₂*А)+….Р(Н_п*А)

По теории умн-я вер-тей получим

Р(А)=Р(Н₁*А)+Р(Н₂*А)+….Р(Н_п*А)= Р(Н₁)*Р_н1(А)+ Р(Н₂)*Р_н2(А)+…. Р(Н_п)*Р_нп(А)-формула полной вероятности

6. При формуле полной вер-ти заранее известно, какое из событий Н₁,Н₂…H_n наступит, поэтому эти события называют гипотезами.

Формула Байеса позволяет уточнить гипотезы, при условии что событие А произойдет. Она имеет вид: Р_А(Нi)=  (i= )

Выведем формулу Байеса

P(A*H_i)=P(A)*P_A(H_i)=P(H_i)*P_Hi(A)

Из последнего равенства можем выразить P_A(Hi)

P_A(Hi)= - формула Байеса