Повторение испытаний. Формула Бернули. Найвероятнейшее число появлений событий

Испытание Х_1,Х_2,…,Х_n наз-ся независимым,если исход каждого испытания не зависит от исходов всех предыдущих испытаний.Н-р:бросание монеты,игральной кости,выборочный контроль кач-ва прод-ции.

В схеме Якоба Бернулли рассматр-ся серия состоящая из n независимых испытаний Х_1,Х_2,…,Х_n, причем каждое из этих испытаний имеет лишь 2 исхода:а)событие А наступило-успех,б)событие А не наступило-неудача

Причем вер-ть успеха при одном испытании Р(А)=р(0≤р≤1) постоянна и не зависит от номера испытания. Числа n и p наз-ся параметрами схемы Бернулли.

В рамках схемы Бернулли у заданного числа m(0≤m≤n) опр-ть вер-тьP_n(m) того, что событие А в данной серии из n числа испытаний наступит точно m раз и имеет место формула Бернулли

 P_n(m)=C_*p^mq^n-m

где q-вероят-ть неудачи q=1-p

Вероят-ть P_n(m) (m=0,n) наз-ся биномиальными в связи с тем, что правая часть фор-лы Бернулли совпадает с общим членом разложения Бинома-Ньютона:

(p+q)ⁿ=∑ C_*p^m_*q^n-m

                                 ^m=0

Очевидно, что сумма всех биномиальных вероятностей равна 1.

Отметим, что верот-ти m успехов при фиксированном m сначало растут до опред-го числа m₀, а потом убывают при уменьшении m от m₀ до n.

Оредел-ие: число успехов m₀, к которому при заданном фиксированном n соотв-ет max биномиальная вероят-ть Pn(m₀) наз-ся наиболее вероятным (наивероятнейшим) числом успехов.

Отметим,что наивероятнейшее число m₀ удовлетворяет системе неравенств: n*p-q≤m₀≤n*p+p, которое имеет одно решение: m=[np+p], если число np+p-не целое

Два решения:m₀=np+p

            m₀₌np+p-1, если np+p-целое

8. Предельные теоремы для схемы Бернулли (Теорема Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа). Функции Гаусса и Лапласа.

В случае, когда число испытаний велико, формулу Бернулли применять неудобно. Для больших  существуют приближенные формулы. Точность этих формул увеличивается с возрастанием .

Теорема Пуассона:Предположим, что произведение np =  является постоянной величиной, когда n неограниченно возрастает, тогда для любого фиксированного m и  постоянного

  На практике эта теорема применяется следующим образом. Если n велико, а p мало, , то  – формула Пуассона.

Замечание: Если мало значение q₁ то по Пуассоновским приближениям можно воспользоваться для числа неудач.   

Если же n достаточно велико, а p не слишком близко к нулю или единице, то имеет место теорема: Локальная теорема Муавра-Лапласа: , где ,

а   Функция  называется ф-ей Гауса. Эта функция затабулирована  – ф-ия Гауса чётная. При достаточно больших n вероятность того, что событие A в схеме Бернулли наступило не менее m₁ и не более m₂ раз в n испытаниях, при условии, что p не слишком близко к 0 или 1, вычисляется с помощью след. теоремы: Интегральная теорема Муавра-Лапласа: где , Ф-ия (x) называется ф-ией Лапласа,она нечётная, т.е. Ф(-x) = Ф(x)