Свойства условных вероятностей

1) ; 2) ; 3) ; 4) если , то ;
5) .

Определение 3. Событие А называется независимым от события В
с , если , т.е. вероятность наступления события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило

.

    В частности для независимых событий , т.е. вероятность совместного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

    Следствие.Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленную в предположении, что все предыдущие события уже наступили

.

В частности, вероятность совместного наступления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий

.

Вычисление вероятности появления хотя бы одного из совместных событий  можно вычислять как разность между единицей и вероятностью произведения противоположных событий :

.

В частности, если все n событий имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

.

7. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Определение. Набор событий  называется полной группой событий, если они попарно несовместны и их сумма составляет достоверное событие

Формула полной вероятности. Пусть события  образуют полную группу событий ( ) и событие А может произойти с одним и только с одним из этих событий. Тогда вероятность события А равна  .

Формула Байеса. Если событие А произошло, то условные вероятности (апостериорные) гипотез  вычисляются по формуле Байеса

,

где Р(А) — вероятность события А, вычисленная по формуле полной вероятности.

8. Формула Бернулли

Ряд классических распределений связан с экспериментом, в котором проводятся последовательные независимые испытания, и наблюдается результат совместного осуществления тех или иных исходов каждого испытания.

Последовательные испытания называются независимыми, если вероятность осуществления любого исхода в n-м по счету испытании не зависит от реализации исходов предыдущих испытаний.

Простейшим классом повторных независимых испытаний является последовательность независимых испытаний с двумя исходами («успех» и «неуспех») ис неизменными вероятностями «успеха» (р) и «неуспеха»  в каждом испытании (схема испытаний Бернулли).

Вероятность получить ровно m успехов в n независимых испытаниях вычисляется по формуле, называемой формулой Бернулли

.

Определение. Число наступлений события А называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления события А любое другое количество раз.

Наивероятнейшее число наступлений события А в n испытаниях заключено между числами  и : . Если  — целое число, то наивероятнейших чисел два и .

9. Формула Пуассона

Теорема 1 (Пуассона). Предположим, что произведение   является постоянной величиной, когда n неограниченно возрастает. Обозначим  Тогда для любого фиксированного  и любого постоянного :  .

В случае, когда n велико, а р мало (обычно ;  ) вместо формулы Бернулли применяют приближенную формулу Пуассона

 , где

10.  Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Теорема 2 (Локальная теорема). Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаниях равна р и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность   того, что в n испытаниях событие А наступит   раз, приближенно равна (чем больше n, тем точнее) значению функции

     , где  ,   .

Теорема 3 (Интегральная теорема). Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна р и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n испытаниях число успехов m находится между   и  , приближенно равна (чем больше n, тем точнее)

 , где р — вероятность появления успеха в каждом испытании,  ,  .

Из интегральной теоремы Лапласа можно получить формулу

.

11. Дискретные случайные величины

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно из возможных значений, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Обозначают случайные величины буквами Х, Y, Z, а их возможные значения — х, у, z.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным, но счетным.

Дискретная случайная величина может быть задана рядом распределения — это соответствие между возможными значениями и их вероятностями:

Х			…
Р			…

, .

События  образуют полную группу, следовательно, сумма вероятностей этих событий равна единице: .

Ряд распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически в виде полигона или многоугольника распределения вероятностей. Для этого по горизонтальной оси в выбранном масштабе нужно отложить значения случайной величины, а по вертикальной — вероятности этих значений, тогда точки с координатами  будут изображать полигон распределения вероятностей; соединив же эти точки отрезками прямой, получим многоугольник распределения вероятностей.

Дискретная случайная величина может быть задана функцией распределения.Функцией распределения случайной величины Х называется функция , выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее х:

Функцию  иногда называют интегральной функцией распределения.

12. Непрерывные случайные величины

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Примеры непрерывных случайных величин: диаметр детали, которую токарь обтачивает до заданного размера, рост человека, дальность полета снаряда и др.

Теорема. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю .

Следствие. Если Х — непрерывная случайная величина, то вероятность попадания случайной величины в интервал  не зависит от того, является этот интервал открытым или закрытым, т.е.

.

Если непрерывная случайная величина Х может принимать только значения в границах от а до b (где а и b — некоторые постоянные), то функция распределения ее равна нулю для всех значений  и единице для значений .

Для непрерывной случайной величины .

Все свойства функций распределения дискретных случайных величин выполняются и для функций распределения непрерывных случайных величин.

Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным.

13. Функция распределения вероятностей

1) Функция распределения дискретной случайной величины - это вероятность того, что случайная величина (назовём её ξ) примет значение меньшее, чем конкретное числовое значение x: F(X)=P(ξ<X).

F(x) обладает свойствами:

1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей: .

Утверждение следует из того, что функция распределения — это вероятность.

2. Функция распределения есть неубывающая функция на всей числовой оси.

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна 1, т.е. ; .

4. Вероятность попадания случайной величины в интервал  (включая ) равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т.е. .

2) Теорема. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю .

Следствие. Если Х — непрерывная случайная величина, то вероятность попадания случайной величины в интервал  не зависит от того, является этот интервал открытым или закрытым, т.е.

.

Если непрерывная случайная величина Х может принимать только значения в границах от а до b (где а и b — некоторые постоянные), то функция распределения ее равна нулю для всех значений  и единице для значений .

Для непрерывной случайной величины: .

Все свойства функций распределения дискретных случайных величин выполняются и для функций распределения непрерывных случайных величин.

Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным.

14. Плотность распределения вероятностей

Плотностью вероятности (плотностью распределения или плотностью) р(х) непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения .

Плотность вероятности р(х), как и функция распределения F(х), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения она существует только для непрерывных случайных величин.

Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией, или дифференциальным законом распределения.

График плотности вероятности называется кривой распределения.

Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины:

1. .

2.      (рис. 8.1).

3.  (рис. 8.2).

4. .

Геометрически свойства плотности вероятности означают, что ее график — кривая распределения — лежит не ниже оси абсцисс, и полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

15.  Математическое ожидание случайной величины и его свойства