Уравнения с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами

Квадратные уравнения с параметром.

Функция вида  ( - квадратный трехчлен), где , в школьном курсе математики придается большое значение. Для нее строго доказываются все свойства, нужные в теории и для решения задач.

Безукоризненное знание необходимых свойств квадратного трехчлена требуется от каждого абитуриента, так как квадратный трехчлен с параметром часто включается в варианты письменных работ и в тесты для собеседования на вступительных экзаменах в ВУЗы. Как правило, большая часть абитуриентов с этими задачами не справляется. Значит, им надо уделять больше внимания на факультативных занятиях в школе, на страницах печати.

При решении таких задач приходится работать с тремя типами моделей:

1) вербальная модель – словесное описание задачи;

2) геометрическая модель – график квадратичной функции;

3) аналитическая модель – система неравенств, при помощи которой описывается геометрическая модель.

Важно уметь устанавливать связь между этими моделями. Например, если старший коэффициент квадратного трехчлена меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз, или, если , то трехчлен имеет различные действительные корни и график пересекает ось абсцисс в двух точках. График  (парабола) находится ниже находится ниже оси абсцисс, следовательно, a<0 и D<0. Последнюю геометрическую модель можно описать еще тремя способами: неравенство выполняется при любом х; неравенство  не имеет решений; трехчлен не имеет действительных корней и его старший коэффициент отрицателен.

Многие задачи решают по следующему алгоритмическому предписанию:

1) уравнение записывают в виде ;

2) выбирают контрольные значения параметра ( в качестве контрольных значений параметра чаще всего берут такие, что D=0, D<0, D>0, старший коэффициент квадратного трехчлена положительный, отрицательный, равный нулю и те значения параметра, при которых трехчлен становится неполным);

3) для каждого случая строят параболу ( геометрическую модель);

4) геометрическую модель описывают системой неравенств(аналитическая модель);

5) решают систему неравенств.

С помощью нахождения дискриминанта можно определить количество решений.

1) если D<0, то уравнение не имеет корней;

2) если D=0, то уравнение имеет один единственный корень;

3) если D>0, то уравнение имеет два решения.

Также рассмотрим возможные случаи при решении квадратных уравнений с параметром:

Пусть  - абсцисса вершины; ,  - корни трехчлена; A,B – некоторые точки на оси

1) , , тогда и только тогда, когда  или

1) корни лежат по разные стороны от числа А тогда и только тогда, когда  или

2) оба коня больше А:  или

3) оба корня лежат между числами А и В тогда и только тогда, когда  или

4) корни лежат по разные стороны от отрезка [AB] тогда и только тогда, когда

 или

В некоторых случаях при решении используется теорема Виета: 1. Квадратный трехчлен

2. Корни квадратного трехчлена  и , причем

3. Дискриминант квадратного трехчлена

В случае четности второго коэффициента

4. Теорема

6) Уравнение имеет два отрицательных корня при условии:

7) Уравнение имеет два положительных корня при условии:

19. Методы решения уравнения . Методы решения неравенства

Уравнения и неравенства с параметрами – одна из самых тяжелых тем школьного курса математики. Параметры занимают особое место в системе упражнений, развивающего характера. Сложность решения уравнений и неравенств с параметрами связано с рассмотрением различных частных значений параметра, при которых задача имеет решение (не имеет решения), задана расп. на подзадачи. Каждое уравнение вида f(x;a)=0 можно рассмотреть как уравнение с параметром. Решить такое уравнение – это значит найти такие пары (x;a), которые удовлетворяют данному уравнению. Таким образом уравнение f(x;a)=0 можно рассмотреть как уравнение с 2-мя параметрами (х) и (а). если а – фиксированное значение, то уравнение f(x;a)=0 можно рассматривать как уравнение с одной переменной (х).

Если для каждого значения а из некоторого множества А решить уравнение f(x;a)=0 относительно х, то это уравнение называется уравнением с переменной х и параметром а. множество А – область значения параметра.

Если про множество А ничего не сказано, то а принадлежит R и нужно найти те значения а, при переходе через которые происходят качественные изменения уравнений. Эти значения называются контрольные. Решить уравнение с параметром – значит найти такие контрольные значения, при переходе через которые существенно меняются корни уравнения.

· Аналитический метод решения

· Функциональный и графический (для уравнений и неравенств)

· Полное или комбинированное использование свойств функций и их свойств(для неравенств)

Каждое уравнение можно рассматривать как уравнение вида F(x;a)=0 . решение состоит из 2-х частей:

1. F (x;a)=0 относительно х или относительно а.

2. Исследование функции х=Р(а) или а=М(х)

Работа над уравнением с параметрами состоит из следующих наиболее типовых задач

1)Е (нахождение области значений функции)

2)определение тех промежутков из области определения функции, которым не могут принадлежать корни этого уравнения и тех значений параметра а, при которых эти корни не существуют.

3) построение графиков уравнений F(x;a)=0 и чтение данных графиков.