Иррациональные неравенства. Основные методы решения иррациональных неравенств

Основным методом решения иррационального неравенства является сведение его к системе рациональных неравенств или совокупности таких систем. При этом чаще всего используются следующие равносильности (в нижеследующих формула звездочка у неравенства означает, что данное неравенство заменяется на нестрогое, если исходное неравенство является нестрогим):

1)    2)

3)  4)

5)          6)

7) .

Замечание. При решении иррациональных неравенств, как правило, приходится возводить обе части неравенства в натуральную степень. В этом случае необходимо следить за тем, чтобы преобразования были равносильными, лишь тогда можно избежать потери или приобретения лишних решений.

Неравенства с тремя квадратными радикалами равносильными преобразованиями сводятся к одному из типов неравенств с единственным радикалом. Например, одна из схем решения неравенства

такова. Сначала находим область определения  неравенства из системы  Затем для всех  переносом члена с «минусом» в другую часть неравенства обеспечивается неотрицательность обеих частей, которые затем возводятся в квадрат. В результате получается неравенство с одним радикалом:

,

которое решается по известной (приведенной выше схеме).

Показательные уравнения. Основные методы решения показательных уравнений

Показательным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестную величину в показателе степени при постоянном основании a (a > 0).

Типы показательных уравнений и способы их решения

Всюду далее f(x), g(x) – некоторые выражения с неизвестной величиной x.

I тип: уравнение вида  где      (1) имеет решение, если b > 0. Его решают логарифмированием по основанию a:   Тогда       (2)

Решение уравнения (2) производят соответственно типу этого уравнения.

II тип: уравнение вида  где      (3) по свойству равенства степеней равносильно уравнению  Последнее уравнение решают в зависимости от его типа.

III тип: уравнение вида           (4) где F – некоторое выражение относительно

Производят замену переменной  и решают уравнение F(y) = 0. Если  – корни уравнения, то после возвращения к старой переменной решение уравнения (4) сводится к решению равносильной ему совокупности уравнений

IV тип: уравнения, решаемые графическим методом.

Для таких уравнений строят соответствующие графики для левой и правой частей уравнения. Определяют, для каких значений x графики имеют общую ординату. Используют также иные функциональные свойства, в частности, монотонность функции (возрастание, убывание).

Показательно-степенным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится и в основании степени, и в показателе. Такие уравнения принято решать при условии, что основания степени положительны (ОДЗ уравнения).

Типы показательно-степенных уравнений и способы их решения

Всюду далее f(x), g(x), h(x) – некоторые выражения с неизвестной x, f(x) > 0.

I тип: уравнение вида    (5). Решение уравнения (5) на ОДЗ сводится к решению совокупности

II тип: уравнение вида       (6)

Решение уравнения (6) на ОДЗ сводится к решению совокупности