Некоторые типы иррациональных уравнений

Пусть далее  – некоторые выражения с неизвестной х,

I тип: уравнение вида       (1). Возведение в -ю степень приводит к равносильному уравнению

Уравнение   (2) после возведения в -ю степень сводится к равносильному уравнению

Уравнение     (3) после возведения в степень 2n приводит к уравнению-следствию     (4)

Найденные корни уравнения (4) проверяют подстановкой в уравнение (3) и отбирают те из них, которые удовлетворяют уравнению (3).

Уравнение      (5) после возведения в степень 2n сводится к уравнению-следствию     (6)

Корни уравнения (5.6) необходимо проверить подстановкой в уравнение (5).

II тип: уравнение вида      (7) где

1-й способ. Необходимо возвести уравнение (7) в квадрат. В определенных случаях следует один из корней перенести в правую часть уравнения. После упрощения полученное уравнение возводят в квадрат еще раз.

2-й способ. Умножение уравнения (7) на сопряженное выражение

Отдельно проверяют, имеет ли решение уравнение h(x) = 0. Затем для h(x) ¹ 0 рассматривают систему

Сложение уравнений этой системы приводит к уравнению вида (3).

3-й способ. Замена переменных

и переход к системе уравнений относительно u, v.

Уравнение      (8) где a, b Î R, возведением в куб обеих частей сводится к уравнению  (9)

Выражение в скобках (в левой части уравнения (5.9)) заменяют на  используя заданное уравнение. В итоге заданное уравнение (8) приводится к уравнению-следствию, которое снова возводят в куб.

Полученные таким образом решения необходимо проверить подстановкой в уравнение (8).

III тип: уравнения, решаемые заменой переменной.

В результате замены может уменьшиться степень выражений, стоящих под корнями, что приведет к уменьшению степени рационального уравнения после избавления от корней.

Если уравнение имеет вид      (10) где F – некоторое алгебраическое выражение относительно  то заменой  оно сводится к уравнению     (11)

После решения уравнения (5.11) возвращаются к старой переменной и находят решения уравнения (10).

IV тип: уравнения, решаемые исходя из арифметического смысла корней с четными показателями. В частности, решение уравнения  (12)

где a > 0, b > 0, сводится к решению системы

V тип: уравнения, решаемые функциональными методами и методами, основанными на ограниченности входящих в уравнение функций.

Решение уравнений основывается на следующих утверждениях.

1. Если  и  для всех , то на множестве X уравнение f(x) = g(x) равносильно системе уравнений

2. Если функции f(x) и g(x) непрерывны и f(x) возрастает, а g(x) убывает для x ÎX, то уравнение f(x) = g(x) имеет не больше одного решения на промежутке X. Если один корень подобрать, то других корней нет.

3. Если f(x) – возрастающая функция, то уравнение  равносильно уравнению

4. Если f(x) – возрастающая (убывающая) функция, то уравнение  равносильно уравнению