Обратные тригонометрические функции, графики, свойства

Функция  на отрезке  имеет обратную функцию, которая называется арксинусом

Арксинусомчисла х, где  называется такое число у,  синус которого равен числу х. Обозначают: Таким образом,  – это угол у, измеренный в радианах, такой, что Для любого  имеем , .

2. Функция  на отрезке  имеет обратную функцию, которая называется арккосинусом.

Арккосинусомчисла х, где  называется такое число у,  косинус которого равен числу х. Обозначают: Таким образом,  – это угол у, измеренный в радианах, такой, что Для любого  имеем , .

3. Функция  на промежутке  имеет обратную функцию, которая называется арктангенсом. Арктангенсомчисла х,  называется такое число у,  тангенс которого равен числу х. Обозначают:   Таким образом,  – это угол у, измеренный в радианах, такой, что   Для любого  имеем , .

4. Функция  на промежутке  имеет обратную функцию, которая называется арккотангенсом. Арккотангенсомчисла х,  называется число у,  котангенс которого равен числу х. Обозначается: Таким образом,  – это угол у, измеренный в радианах, такой, что Для любого  имеем , .

Функции , , ,  называют обратными тригонометрическими функциями или аркфункциями.

Некоторые важные тождества: ,

      ,

, , .

Метрические соотношения в окружности. Свойства хорд. Свойства секущих и касательных к окружности. Измерение углов, связанных с окружностью

Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном рассто­янии от данной точки, называемой центром окружности. Отрезок, со­единяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиу­сом окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называ­ется ее хордой.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется ее диаметром. Диаметр равен двум радиусам, а радиус равен половине диаметра.

Если на окружности взять две точки, то они разобьют окружность на две части, каждая из которых называется дугой окруж­ности, а данные точки — концами этих дуг.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, со­единяющий ее концы, является диаметром окружности. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

 Кругом с центром О и радиусом R называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, удаленных от точки О не боль­ше, чем на расстояние R.

Свойства хорд

Т1. Диаметр перпендикулярен хорде, не являющейся диамет­ром, тогда и только тогда, когда он проходит через середи­ну хорды. Дано: CD — диаметр окружнос­ти О, АВ — хорда окружности О.
CD ∩ АВ = М , AM = MB. Доказать: CD ┴ АВ . Доказательство.Треугольник АОВ равнобедренный (OA = OB как радиусы окружности), ОМ — его медиана. Значит, ОМ — высота треугольника, т. е. ОМ ┴ АВ, или диаметр CD перпендикулярен хорде АВ.  Докажем обратное.

Дано: CD — диаметр окружно­сти О, АВ — хорда окружности О, М = AB∩CD, CD ┴ АВ. Доказать: AM = MB. Доказательство. Треугольник АОВ равнобедренный (OA = OB) и ОМ — его высота, а значит, ОМ — медиана, т. е. AM= MB. n

Следствие. Расстояние от центра окружности до хорды равно расстоя­нию от центра до середины хорды.

Т2. Хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от центра. Дано: окружность О, CD — хорда окружности О, АВ — хорда окружности О, АВ = CD. М— середина АВ, N— середина CD. Доказать: ОМ = ON. Доказательство. ∆OND = ∆ОМВ, так как они прямоугольные (ON ┴CD и ОМ┴АВ), ND= MB как половины отрезков CD и АВ, и OD = ОВ как радиусы окружности. Из равенства треугольников OND и ОМВ следует равенство их катетов ON и ОМ. Докажем обратное. Дано: окружность О, АВ и CD — ее хорды, ON┴CD, т. е. N— середина CD, М— середина АВ, т. е. ОМ ┴ АВ , ОМ= ON. Доказать: АВ = CD. Доказательство. ∆OND = ∆OMB, так как они прямоугольные ( OND = OMB = 90°), ON = ОМ (по условию) и OD = ОВ (радиусы окружности О). Из равен­ства треугольников OND и ОМВ следует равенство их катетов ND и MB. Значит, CD = 2ND = 2MB = АВ. n

Опр..Угол, вершина которого лежитв центре окружности, называется центральным углом.

(OA — общая). Таким образом, АР = AM и PAO = MAO . n

Т8. Дуги, заключенные между параллельными хордами окружности, равны.

Док-во: Равенство дуг АС и BD непосред­ственно следует из равенства уг­лов ABC и BCD. (см. рис. Справа ------>------>------>------>------>------>------>) n

Т9. Дуги, заключенные между касательной к окружности и па­раллельной ей хордой и этой окружности, равны. Доказательство. ОМ ┴т , т.к. т — касательная к окр. О в точке М. Значит, ОМ ┴АВ, так как т || АВ.