Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых. Угол между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Взаимное расположение двух прямых и пространстве характеризуется следующими тремя возможностями. 1) Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек — параллельные прямые. 2) Прямые лежат и одной плоскости и имеют одну общую точку — прямые пересекаются.

3) В пространстве две прямые могут быть расположены еще так, что не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (не пересекаются и не параллельны).

Признак скрещивающихся прямых.Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.  a b = K K a => a и b - скрещивающиеся прямые. Теорема 1. Свойствоскрещивающихся прямых.Скрещивающиеся прямые не определяют плоскость.Доказательство от противного. Пусть даны скрещивающиеся прямые а и b. Прямая а лежит в плоскости a, а прямая b пересекает плоскость a в точке А (АÏa). Пусть прямые а и bопределяют плоскость β. Прямая а и точка А одновременно принадлежит и плоскости a, и плоскости β, значит, плоскости a иβ совпадают, следовательно, все точки плоскости β принадлежат плоскости a, Значит, прямая bпринадлежит плоскости a, чего быть не может, так как по условию плоскость a и прямая bпересекаются. Пришли к противоречию, значит, прямыеа и bне определяют плоскость. Ч.т.д.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку.
Синус угла между скрещивающимися прямыми равен отношению длины проекции одной из прямых на плоскость, к которой другая прямая перпендикулярна, к её длине. Доказательство. Пусть а и с - скрещивающиеся прямые, a - плоскость перпендикулярная прямой а.Для простоты доказательства построим такой чертеж, где роль прямойа играет отрезок A₁B₁, прямойс - АС, плоскости a - прямоугольник ВСС₁B₁. Сделаем параллельный перенос отрезка A₁B₁ в прямуюАВ. Угол между прямымиа и с есть угол между прямыми АВ и АС. Треугольник АВС прямоугольный (по построению). В нем ВС – проекция АС на плоскость ВСС₁B₁. Синус угла ВАСравен отношению отрезка ВС к АС. Другими словами синус угла между скрещивающимися прямыми а и с равен отношению длины проекции одной прямой на плоскость, в которой лежит другая, к длине этой же прямой.

6.Скрещивающиеся прямые. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

В пространстве две прямые могут быть расположены еще так, что не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (не пересекаются и не параллельны).

Признак скрещивающихся прямых.Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.  a b = K K a => a и b - скрещивающиеся прямые. Теорема 1. Свойство скрещивающихся прямых.Скрещивающиеся прямые не определяют плоскость.Доказательство от противного. Пусть даны скрещивающиеся прямые а и b. Прямая а лежит в плоскости a, а прямая b пересекает плоскость a в точке А (АÏa). Пусть прямые а и bопределяют плоскость β. Прямая а и точка А одновременно принадлежит и плоскости a, и плоскости β, значит, плоскости a иβ совпадают, следовательно, все точки плоскости β принадлежат плоскости a, Значит, прямая bпринадлежит плоскости a, чего быть не может, так как по условию плоскость a и прямая bпересекаются. Пришли к противоречию, значит, прямыеа и bне определяют плоскость. Ч.т.д.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми нужно:
- Найти плоскость, перпендикулярную одной из скрещивающихся прямых;
- Ортогонально спроектировать вторую прямую на эту плоскость;
- Из точки пересечения плоскости первой прямой опустить перпендикуляр на проекцию второй прямой ( расм. на примере куба)