Основные виды четырехугольников, их св-ва и признаки

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными . Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

Четырехугольники бывают выпуклые (S =d₁d₂ sinα) иневыпуклые.

Виды четырёхугольников

ПараллелограммS = ah_a= absinα=d₁d₂sinα

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

· противолежащие стороны равны;

· противоположные углы равны;

· диагонали точкой пересечения делятся пополам;

· сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;

· сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон: d₁²+d₂²=2(a²+b²).

Признаки параллелограмма

· Четырехугольник является параллелограммом, если:

· Две его противоположные стороны равны и параллельны.

· Противоположные стороны попарно равны.

· Противоположные углы попарно равны.

· Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

ТрапецияS = (a+b)h/2

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции

ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;

если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;

если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;

если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

Признаки трапеции

Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны

ПрямоугольникS = ab=d₁d₂sinα

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольникавсе свойства параллелограмма;диагонали равны.

Признаки прямоугольника

Параллелограмм является прямоугольником, если:Один из его углов прямой.Его диагонали равны.

РомбS = ah_a= a²sinα=d₁d₂

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромбавсе свойства параллелограмма;диагонали перпендикулярны;диагонали являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба

Параллелограмм является ромбом, если:

Две его смежные стороны равны.

Его диагонали перпендикулярны.

Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

КвадратS = a²=d²

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

все углы квадрата прямые;диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Признаки квадратаПрямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.