Свойства параллельного проектирования. Изображение плоских фигур. Требования к проекционным чертежам.

В основе изображения фигур на плоскости лежит параллельное проектирование. Пусть дана плоскость α и прямая a, пересекающая плоскость α. Построим проекцию точки A на плоскость α. Для этого проведем через точку A прямую b || α, b пересеч. α = A'. Точка A' называется параллельной проекцией точки A на плоскость α (обозначение: A' = Пр_αA). Плоскость α называют плоскостью проекций. Множество проекций всех точек фигуры Ф на плоскость α называется проекцией фигуры Ф на плоскость α. Если Ф' – проекция фигуры Ф на плоскость α, пишут Ф' = Пр_αФ.Рассмотрим правила параллельного проектирования. Пусть прямые, которые проектируются, не параллельны направлению проектирования. Тогда для этих прямых и лежащих на них отрезков выполняются следующие свойства:1)Проекцией прямой является прямая, проекцией отрезка – отрезок.(Док-во: все прямые, проектирующие точки отрезка АС, лежат в одной плоскости, пересекающей плоскость чертежа «α» по прямой А₁С_1. Произвольная точка В отрезка АС изображается точкой В₁ отрезка А₁С₁).2)Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают. (Док-во: пусть АС || А’С’. Прямые А₁С₁ || А’₁С’₁ т.к. они получаются при пересечении параллельных плоскостей с плоскостью «α». Первая проходит через АС и АА₁ , вторая через А’С’ и А’А’₁ .)

Отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин этих отрезков.Построение изображений фигур основывается на следующих правилах. 1) Изображение треугольника. Произвольный треугольник можно параллельно спроектировать так, что его проекцией будет треугольник, подобный любому треугольнику. Следовательно, параллельной проекцией треугольника может быть произвольный (по форме) треугольник. Согласно свойству 3 проекцией медианы является медиана.

2) Изображение параллелограмма. По свойству 2 проекцией параллелограмма является параллелограмм или отрезок.3) Изображение трапеции. Согласно свойству 2 проекцией трапеции является трапеция (или отрезок), у которой отношение оснований такое же, как у оригинала.4) Изображение параллелепипеда. Все грани параллелепипеда – параллелограммы, поэтому и на изображении параллелепипеда все грани – параллелограммы (или отрезки).5) Изображение призмы. На изображении призмы, как и на оригинале, все боковые грани – параллелограммы (или отрезки).

6) Изображение пирамиды. Изображением треугольной пирамиды является произвольный четырехугольник (или треугольник).

Отдельный вид проектирования, когда a ┴ α, называется ортогональным проектированием.К проекционным изображениям в начертательной геометрии предъявляются следующие основные требования: Обратимость – восстановление оригинала по его проекционным изображениям (чертежу) – возможность определять форму и размеры объекта, его положение и связь с окружающей средой. Наглядность – чертеж должен создавать пространственное представление о форме предмета. Точность – графические операции, выполненные на чертеже, должны давать достаточно точные результаты. Простота – изображение должно быть простым по построению и допускать однозначное описание объекта в виде последовательности графических операций.

Свойства параллельного проектирования. Изображение многоугольников и тел вращения. Теорема Польке-Шварца.

Допустим, что в пространстве задана произвольная плоскость α и пересекающая ее прямая a. Выберем в пространстве произвольную точку M и проведем через нее прямую b, параллельную a. Точка пересечения M₁ прямой b с плоскостью a называется параллельной проекцией точки M на эту плоскость. Плоскость α называется плоскостью проектирования, а прямая a – направлением проектирования. Пусть в пространстве задана некоторая фигура K. Отображение, ставящее в соответствие каждой точке M фигуры K ее параллельную проекцию – точку M₁ на плоскость α в направлении a, называется параллельным проектированием (на плоскость α в направлении a). Множество точек M₁ называется параллельной проекцией фигуры K на плоскость α в направлении a. Параллельное проектирование применяется для изображения пространственных фигур на плоскости и обладает следующими свойствами (здесь мы предполагаем, что направление проектирования не параллельно рассматриваемым отрезкам и прямым; в противном случае проекцией будет являться точка).

Проекцией прямой является прямая, проекция отрезка есть отрезок.

Две параллельные прямые проектируются либо в две параллельные прямые, либо в одну и ту же прямую. Проекции параллельных отрезков лежат либо на параллельных прямых, либо на одной прямой.

Длины проекций параллельных отрезков, а также длины проекций отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны длинам самих этих отрезков.

Изображением данного треугольника может служить любой треугольник.

Для изображения плоского многоугольника выделяют в нем вершины A₁, A₂, A₃. Затем строят изображение треугольника A₁A₂A₃ в виде произвольного треугольника. Изображение остальных вершин многоугольника строится однозначно с использованием свойств параллельного проектирования.

Из приведенного утверждения следует, что изображением данного треугольника может служить треугольник, подобный любому треугольнику. В частности, любой треугольник можно спроектировать в правильный треугольник, то есть правильный треугольник может служить проекцией любого треугольника.

При изображении многогранников полезно следующее утверждение.

Теорема 4.1. Теорема Польке – Шварца. Изображением данного тетраэдра может служить любой четырехугольник с проведенными в нем диагоналями (не обязательно выпуклый).

Для изображения многогранника выделяют в нем четыре вершины A₁, A₂, A₃, A₄. Затем строят изображение тетраэдра A₁A₂A₃A₄ в виде произвольного четырехугольника с проведенными в нем диагоналями. Изображение остальных вершин многогранника строится однозначно с использованием свойств параллельного проектирования