Окружность, вписанная в треугольник. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом вписанной окружности

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Теорема. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис. Доказательство. Пусть ABC данный, O – центр вписанной в него окружности, D, E и F – точки касания окружности со сторонами. Δ AEO = Δ AOD по гипотенузе и катету (EO = OD – как радиус, AO – общая). Из равенства треугольников следует, что ∠ OAD = ∠ OAE. Значит AO биссектриса угла EAD. Точно также доказывается, что точка O лежит на двух других биссектрисах треугольника. n

Удобно уметь вычислять площадь, если даны три стороны.

Так как S_D = 0,5ah_a; h_a = , где р – полупериметр треугольника; поэтому, S_D = . Эта формула была известна еще в древнем мире и носит название формулы Герона.

Выведем формулу, связывающую площадь треугольника с радиусом вписанной окружности (см. рис. 4).

S_D = S_AOB + S_BOC + S_COA = 0,5cr + 0,5ar + 0,5br = pr.

Также существует формула: , где  - высоты треугольника

Окружность, описанная около треугольника. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом описанной окружности

Окружностью называется фигура, состоящая из множества точек плоскости, расположенных на одинаковом расстоянии от некоторой точки О этой же плоскости, называемой центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров.

Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник и O – центр окружности описанной около данного треугольника. Δ AOB – равнобедренный ( AO = OB как радиусы). Медиана OD этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне AC и проходящей через ее середину. Так же доказывается, что центр окружности на перпендикулярах к другим сторонам треугольника.     Ч.т.д.

Докозательство 2способ

У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного— вне треугольника, у прямоугольного— на середине гипотенузы.

Остроугольный

Тупоугольный

Прямоугольный

3 из 4 окружностей, описанных относительно серединных треугольников (образованных средними линиями треугольника), пересекаются в одной точке внутри треугольника. Эта точка и есть центр описанной окружности основного треугольника.

· Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника.

· Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.

Радиус описанной окружности может быть найден по формулам

Где:a,b,c — стороны треугольника, α — угол, лежащий против стороны a, S — площадь треугольника.

Прямая Эйлера

Т1. Пусть О — центр окружности, описанной около треуголь­ника ABC, М — точка пересечения его медиан, Н — орто­центр. Тогда точки О, М,Н лежат на одной прямой, причем М делит отрезок ОН в отношении 2:1, считая от Н. Прямая, содержащая эти точки, называетсяпрямой Эйлера для треугольника ABC. Дано: ∆АВС, ВB₁┴АС, СС₁ ┴АВ, Н = ВB₁∩ СС₁, АА₂, ВВ₂ — медианы ∆АВС,
М = АА₂ ∩ВВ₂. В₂О┴АС, А₂О┴ВС, О = В₂О ∩ А₂О (см. рис.). Доказать: М ОН, МН=2ОМ.

Доказательство.Пусть М₁, = ОН∩ВВ₂.

Тогда ∆М₁ОВ₂ ~ ∆M₁HB , так как OM_lB₂ = HM₁B (как вертикаль­ные), OB₂M₁ = M₁BH (как накрест лежащие при параллельных прямых ОВ₂ и ВВ₁ и секущей В₂В ). Из подобия треугольников ОМ₁В₂ и НМ₁В получаем: . Отношение ОВ₂: ВН = 1:2, так как расстояние от центра описанного круга О до стороны ВС вдвое меньше, чем расстояние от вершины В до ортоцентра Н. Тогда из (1) получаем . Но если медиана делится точкой в отношении 2:1, считая от верши­ны треугольника, то это точка — центроид треугольника, т.е. точка совпадает с точкой М. А это означает, что точки Н М, О лежат на одной прямой, так как точкой М₁ мы обозначили точку пересече­ния ОН с медианой ВВ₂.Из (1) имеем  _.Так как = М , то n

Окружность Эйлера

Окружность носит название окружности девяти точек или окружно­сти Эйлера.

Дано: АВС, А1 — середина ВС, В1 — середина АС, С1 — середина АВ, ВН₂ перпендик. АС, Н₂€АС,АН₁перпенд.ВС,H1,€ВС,СН₃перп.АВ,H₃ €АВ, АH1пересеч. ВH₂ и с СH₃= Н , А₂— середина АH, В₂ — середина ВH, С₂ — середина СH (рис. 6.11). Доказать: А1, В1, С1, H1, H₂, H₃, A2, В₂, С₂ — лежат на окружности.

Доказательство.

1) Рассмотрим четырехугольник A2C1A1C2. С1А1 — средняя линия ∆АВС .Значит, С1А1 || АС и С1A1 = 1/2АС;

2) C1,A2 — средняя линия ∆АВH . Значит, С1A2 || ВH . Следовательно, С1A2 1 A2C2 , так как А₂С₂|| АС.

3) Таким образом, С₁А₂С₂А₁— прямоугольник. Тогда существует ок­ружность, диаметром которой является отрезок С1С₂ (т. е. точка Е— середина С1С₂ — ее центр), которой принадлежат точки А₂, С1, А1, С₂.

4) С₁В₂С₂В1— прямоугольник, так как:

а) С1В1 — средняя линия ∆АВС . Значит, С1В1 || ВС и С1В1 = 1/2ВС.

б) С₂В₂ — средняя линия ∆ВHС . Значит, С₂В₂|| С В и С₂В₂ = 1/2СВ .

в) С1В₂перп.В₂С₂, так как С1В₂|| АH и В₂С₂|| АН .

5) С1С₂ — диаметр окружности (центр окружности Е), описанной около прямоугольника В₁С₁В₂С₂.Таким образом, точки С, В₂, Д, С₂, В1, А2 принадлежат окружности с центром Е и диаметром С,С₂.

6) E— середина диагонали С,С₂ прямоугольников С,A2С₂A1 и С₁В₁С₂В₁. Значит, и вторые диагонали A1А2 и В,В₂ соответственно прямоугольников С,A2С₂A1 и С₁В₂С₂В₁проходят через точку Е, так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, A1A2 и В,В₂ —тоже диаметры этой окружности.

7) УГОЛ B₂H₂B 1= 90°, так как ВН₂перп. А С, и этот угол опирается на диаметр В₂В, окружности с центром Е. Значит, Н₂лежит на окружности.

Аналогично угол А2H1A1 = 90° и A1A2 — диаметр окружности. Значит, точ­ка H, лежит на окружности. уголC₁H₃C₂ = 90° и С,С₂ — диаметр окруж­ности. Следовательно, точка H₃ принадлежит окружности. Таким образом, все девять точек лежат на окружности. Теорема доказана.

Tеорема 6.15.Центр Е окружности девяти точек треугольника лежит на середине отрезка ОН, где Н — ортоцентр треугольника, О — центр описанной окружности, а радиус окружности девяти точек равен половине радиуса описанной около треугольника окружности       

Теорема 6.16. Расстояние между центрами О и I описанной и вписанной окружностей треугольника и радиусы R и .rэтих окружно­стей связаны формулой: OI² = R² - 2Rr, называемой фор­мулой Эйлера.

Вневписанная окружность.

Опр1. Окружность, касающаяся одной стороны треугольни­ка и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью.