Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Метрические соотношения в окружности. Свойства хорд
Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, называемой центром окружности. Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом окружности. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Если на окружности взять две точки, то они разобьют окружность на две части, каждая из которых называется дугой окружности, а данные точки — концами этих дуг. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. Кругом с центром О и радиусомR называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, удаленных от точки О не больше, чем на расстояниеR. Свойства хорд Т1. Диаметр перпендикулярен хорде, не являющейся диаметром, тогда и только тогда, когда он проходит через середину хорды. Дано:CD — диаметр окружности О, АВ — хорда окружности О. Дано:CD — диаметр окружности О, АВ — хорда окружности О, М = AB∩CD, CD ┴ АВ. Доказать:AM = MB. Доказательство. Треугольник АОВ равнобедренный (OA = OB) и ОМ — его высота, а значит, ОМ — медиана, т. е.AM= MB.n Следствие. Расстояние от центра окружности до хорды равно расстоянию от центра до середины хорды. Т2. Хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от центра. Дано: окружность О, CD — хорда окружности О, АВ — хорда окружности О, АВ = CD. М— середина АВ, N— серединаCD. Доказать: ОМ = ON. Доказательство. ∆OND = ∆ОМВ, так как они прямоугольные (ON ┴CD и ОМ┴АВ), ND= MB как половины отрезковCD и АВ, иOD = ОВ как радиусы окружности. Из равенства треугольниковOND и ОМВ следует равенство их катетовON и ОМ. Докажем обратное. Дано: окружность О, АВ иCD — ее хорды, ON┴CD, т. е. N— серединаCD, М— середина АВ, т. е. ОМ ┴ АВ , ОМ= ON. Доказать: АВ = CD. Доказательство. ∆OND = ∆OMB, так как они прямоугольные ( OND = OMB = 90°), ON = ОМ (по условию) иOD = ОВ (радиусы окружности О). Из равенства треугольниковOND и ОМВ следует равенство их катетовND и MB. Значит,CD = 2ND = 2MB = АВ. n Опр..Угол, вершина которого лежитв центре окружности, называется центральным углом. Если две хорды АВ и KL пересекаются в точке М, то справедливо равенство: АМ*МВ=КМ*ML=R2-d2 Т3. Хорды данной окружности равны тогда и только тогда, когда они стягивают равные дуги.Доказательство:Равенство хорд АВ иCD следует из равенства треугольников АОВ иCOD(по двум сторонам и углу между ними). Обратно: Дано: окр. О, АВ иCD — хорды окружности О, АВ=СD. Доказать: AOB= COD. Д-во: Равенство углов АОВ иCOD следует из равенства треугольников АОВ и COD (по трем сторонам).Эта теорема может быть сформулирована и таким образом: равные хорды видны из центра окружности под равными углами, и наоборот, под равными углами из центра окружности видны равные хорды.Т4. Дуги, заключенные между параллельными хордами окружности, равны. Док-во: Равенство дуг АС иBD непосредственно следует из равенства угловABC иBCD. (см. рис. Справа ------>------>------>------>------>------>------>)n
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-05-27; просмотров: 706. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |