Типы уравнений и способы их решения

Всюду далее f(x), g(x), h(x) – некоторые выражения с переменной (число).

I тип: уравнение вида:  (1) где c ÎR. ОДЗ:

На указанной ОДЗ уравнение (1) решают по определению логарифма:

II тип: уравнение вида       (2) ОДЗ:

На основании равенства логарифмов, уравнение (2) сводится к равносильному ему (на указанной ОДЗ) уравнению:        (3). 

ОДЗ:

Данное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений:

III тип: уравнения, решаемые заменой переменной  (4), где F – некоторое выражение относительно

Необходимо определить ОДЗ уравнения, учитывая все условия существования логарифма и выражения F. Далее заменяют  и решают уравнение

Если  – корни последнего уравнения, то, после возвращения к старой переменной, необходимо решить совокупность

Полученные корни проверяют по ОДЗ.

З а м е ч а н и е. Если вместо какого-либо выражения f(x), g(x), h(x) уравнения (1)–(4) содержат число, то соответствующее условие не записывают в ОДЗ.

Логарифмические неравенства. Основные методы решения логарифмических неравенств

Логарифмическим неравенством называется такое неравенство, в котором неизвестная величина содержится или под знаком логарифма, или в его основании.

Особенностью решения логарифмических неравенств является учет ОДЗ входящих в него логарифмов. В отличие от логарифмических уравнений, условия, определяющие ОДЗ, целесообразно записывать вместе с решением в одной системе, так как в ходе решения некоторые условия на ОДЗ учитываются сразу. Необходимо внимательно следить за величиной основания логарифма, так как при положительном основании логарифма, которое меньше единицы, знак неравенства меняется на противоположный.

Типы неравенств и способы их решения

Всюду далее f(x), g(x), h(x) – некоторые выражения с переменной.

I тип: неравенство вида:          (5)   где a> 0.

II тип: неравенство вида:    (8)

1. Если 0 <a< 1, то неравенство (8) равносильно системе (9)

Неравенство g(x) > 0 в системе (9) можно не решать, так как оно выполняется при условии выполнения двух других неравенств этой системы.

2. Если  то неравенство (8) равносильно системе (10)

Неравенство  в системе (10) можно не решать.                    (11)

Поскольку в основании содержится переменная величина, то в общем случае решение неравенства (11) зависит от величины основания по сравнению с числом 1. Поэтому решаем совокупность двух

систем:

III тип: неравенство вида  (12), где F – некоторое выражение относительно

Необходимо заменить  и решить неравенство F(y) > 0. Полученные в качестве решения последнего неравенства промежутки записывают в виде неравенств относительно y, а затем возвращаются к старой переменной.

Основные методы решения тригонометрических уравнений