Типы неравенств и способы их решения

Всюду далее f(x), g(x), h(x) – некоторые выражения с переменной.

I тип: неравенство вида     (7) где b Î R.

Если  то решением неравенства (7) является множество всех x из ОДЗ выражения f(x).

Если  логарифмированием по основанию a неравенство (7) сводится к равносильному неравенству. При этом существенно учитывается величина основания a:

1) если  то в результате логарифмирования получают неравенство

2) если  то после логарифмирования приходят к неравенству

Далее решают в зависимости от вида выражения f(x).

Если исходное неравенство имело знак < или ³, или £, то аналогично знак неравенства меняется на противоположный в случае  и не изменяется в случае

II тип: неравенство вида     (8)

Для решения неравенства (6.13) (или аналогичных ему со знаками ³, <, £) используют монотонность логарифма:

1) если 0 < a < 1, то неравенство (8) равносильно неравенству которое решают в зависимости от вида выражений f(x) и g(x);

2) если  то неравенство (8) равносильно неравенству

III тип: неравенство вида     (9) где F – некоторое выражение относительно

Вводят замену переменной  и решают относительно переменной y неравенство

Найденные в качестве решения промежутки (если такие существуют) записывают в виде неравенств относительно y и затем возвращаются к переменной x. Остается решить полученные показательные неравенства.

Если переменная содержится и в основании степени, и в показателе, то такое неравенство называется показательно-степен­ным. Поскольку изменение знака неравенства зависит от величины основания, то для показательно-степенных неравенств рассматривают два случая, т. е. решают совокупность систем неравенств.

Показательно-степенные неравенства решают при условии, что основание степени положительно.

В частности, аналогом показательного неравенства (8) является следующее показательно-степенное неравенство     (10)

Его решение сводится к решению совокупности:

Логарифмические уравнения. Основные методы решения логарифмических уравнений

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится под знаком логарифма или в его основании.

При решении логарифмических уравнений обязательно учитывается ОДЗ логарифма. Если ОДЗ найти сложно, то можно только выписать условия, а затем проверить полученные корни подстановкой в ОДЗ (можно проверять подстановкой в уравнение, не выписывая ОДЗ).