Некоторые типы иррациональных уравнений

I тип: уравнение вида  (1). Возведение в -ю степень приводит к равносильному уравнению

Уравнение   (2) после возведения в -ю степень сводится к равносильному уравнению

Уравнение     (3) после возведения в степень 2n приводит к уравнению-следствию     (4)Найденные корни уравнения (4) проверяют подстановкой в уравнение (3) и отбирают те из них, которые удовлетворяют уравнению (3).

Уравнение      (5) после возведения в степень 2n сводится к уравнению-следствию  (6)Корни уравнения (6) необходимо проверить подстановкой в уравнение (5).

II тип: уравнения, решаемые заменой переменной.

В результате замены может уменьшиться степень выражений, стоящих под корнями, что приведет к уменьшению степени рационального уравнения после избавления от корней.

Если уравнение имеет вид      (10) где F – некоторое алгебраическое выражение относительно  то заменой  оно сводится к уравнению     (11)

После решения уравнения (5.11) возвращаются к старой переменной и находят решения уравнения (10).

III тип: уравнения, решаемые функциональными методами и методами, основанными на ограниченности входящих в уравнение функций.

Решение уравнений основывается на следующих утверждениях.

1. Если  и  для всех , то на множестве X уравнение f(x) = g(x) равносильно системе уравнений

2. Если функции f(x) и g(x) непрерывны и f(x) возрастает, а g(x) убывает для x ÎX, то уравнение f(x) = g(x) имеет не больше одного решения на промежутке X. Если один корень подобрать, то других корней нет.

3. Если f(x) – возрастающая функция, то уравнение  равносильно уравнению

4. Если f(x) – возрастающая (убывающая) функция, то уравнение  равносильно уравнению

Иррациональные неравенства. Основные методы решения иррациональных неравенств

Нер-во – наз иррац если некоторые входящие в него вункции находятся под знаком корня.

Основным методом решения иррационального неравенства является сведение его к системе рациональных неравенств или совокупности таких систем. При этом чаще всего используются следующие равносильности (в нижеследующих формула звездочка у неравенства означает, что данное неравенство заменяется на нестрогое, если исходное неравенство является нестрогим):

1) 2)

3) 4)

5)           6)

7) .

Замечание. При решении иррациональных неравенств, как правило, приходится возводить обе части неравенства в натуральную степень. В этом случае необходимо следить за тем, чтобы преобразования были равносильными, лишь тогда можно избежать потери или приобретения лишних решений.

Неравенства с тремя квадратными радикалами равносильными преобразованиями сводятся к одному из типов неравенств с единственным радикалом. Например, одна из схем решения неравенства

такова. Сначала находим область определения  неравенства из системы  Затем для всех  переносом члена с «минусом» в другую часть неравенства обеспечивается неотрицательность обеих частей, которые затем возводятся в квадрат. В результате получается неравенство с одним радикалом:

,

которое решается по известной (приведенной выше схеме).

Показательные уравнения. Основные методы решения показательных уравнений

Показательным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестную величину в показателе степени при постоянном основании a (a> 0).